Grenzwert einer Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Sa 26.11.2005 | | Autor: | DeLuxor |
Hallo zusammen
Ich muss da in einer Aufgabe den Grenzwert folgender Reihen berechnen
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{2^n}{3^{n+1}} [/mm] und
[mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^n \bruch{n}{n+1}
[/mm]
wie mache ich das bloss? Ich habe alle die Konvergenzkriterien schon durchstudiert, aber keinen Tipp zum konkreten Rechnen gefunden.
LaTeX-Fehler korrigiert - Chistian
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> Hallo zusammen
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> Ich muss da in einer Aufgabe den Grenzwert folgender Reihen
> berechnen
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> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{2^n}{3^{n+1}}[/mm] und
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(-1)^n \bruch{n}{n+1}[/mm]
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> wie mache ich das bloss? Ich habe alle die
> Konvergenzkriterien schon durchstudiert, aber keinen Tipp
> zum konkreten Rechnen gefunden.
>
Hallo.
Hier mal ein paar Tips...
Verstehe ich recht, daß Du die Konvergenz dieser Reihen schon gezeigt hast? Dann darfst Du auch diverse "dreckige Tricks" drauf loslassen und mit dem Reihenwert herumrechnen wie mit ner hundsgewöhnlichen Zahl.
Was bei der ersten aber nicht nötig wäre... denn was hast Du denn für ne Reihe, wenn Du [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] ausklammerst?
Jedoch würd ich mir bei der 2. ernsthafte Sorgen bezüglich der Konvergenz machen, denn was macht denn der Ausdruck [mm] $\frac{n}{n+1}$ [/mm] für [mm] $n\to \infty$?
[/mm]
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:40 So 27.11.2005 | | Autor: | DeLuxor |
Danke für deine Antwort Christian ,
aber ich komme leider nicht nicht hinter deine Frage. Was meinst du, wenn ich [mm] \bruch{1}{3}ausklammere, [/mm] dann habe ich [mm] \bruch{2^n}{3^n} [/mm] diese ist mir nicht bekannter als die alte Reihe, die scheint aber gegen [mm] \bruch{2}{3} [/mm] zu konvergieren, stimmt das?
Und ich muss mich leider mit der zweiten korriegieren (war wohl schon zu lange an den aufgaben) die Reihe lautet:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{n+1}{n!}
[/mm]
diese habe ich mit dem QK. getestet und sie sollte konvergieren, denke ich jedenfalls.
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[mm]\frac{2^n}{3^n} = \left( \frac{2}{3} \right)^n[/mm]: Hilft das?
Im übrigen ist das alles sehr oberflächlich hingeschrieben. So wird bei der zweiten Reihe die obere Summationsgrenze wohl nicht [mm]n[/mm] heißen, sondern [mm]\infty[/mm]. Stimmt das? Und der Summationsindex soll wohl [mm]n[/mm] und nicht irgendwie anders heißen? Stimmt das? Und vielleicht beginnt die Reihe auch mit dem Index 0 und nicht 1. Stimmt das?
Im übrigen beachte, daß im Falle der Konvergenz gilt
[mm]\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{n+1}{n!} \ = \ \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{n}{n!} \ + \ \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{n!}[/mm]
Im letzten Term kannst du bei der ersten Summe auch mit [mm]n=1[/mm] beginnen (warum?) und den Bruch kürzen. Eine Indexverschiebung bringt dich dann auf die Lösung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:01 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Christian |
> [mm]\frac{2^n}{3^n} = \left( \frac{2}{3} \right)^n[/mm]: Hilft das?
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> Im übrigen ist das alles sehr oberflächlich hingeschrieben.
> So wird bei der zweiten Reihe die obere Summationsgrenze
> wohl nicht [mm]n[/mm] heißen, sondern [mm]\infty[/mm]. Stimmt das?
Nein! Wir sollen doch die Konvergenz der Reihe, d.h. der Folge [mm] $S_n:=\sum_{j=1}^{\red{n}}\mbox{Blabla}$ [/mm] untersuchen.
Es darf also keineswegs [mm] "$\infty$" [/mm] heißen.
Gruß,
Christian
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