Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] und 0 < [mm] \alpha [/mm] < [mm] \beta. [/mm] Betrachten Sie die Reihe
1 + [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \alpha^{2} [/mm] + [mm] \beta^{2} [/mm] + ...
(a) Für welche [mm] \alpha, \beta [/mm] konvergiert diese Reihe? Bestimmen Sie, wenn möglich, den Grenzwert.
(b) Sei [mm] (a_{n}) [/mm] die Folge der Reihenglieder. Bestimmen Sie
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] |
Kann mir da vieleicht jemand nen Lösungsansatz geben?Wie bestimme ich denn die Grenzwerte? Und vorallem den Lim sup und den Lim inf ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Do 27.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
für Werte [mm] \alpha [/mm] oder [mm] \beta, [/mm] die größer gleich 1 sind, divergiert die Reihe, da du dann mindestens eine divergente Teilfolge drin hast, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden.
Dann kannst du hinterher sagen, wenn die Reihe absolut konvergiert, dann kann man die Folgenglieder vertauschen, und dann konvergiert deine Reihe auch gegen den selben Grenzwert. Wenn du dir die Reihe dann noch anguckst, schaut sie recht geoemetrisch aus. Da kennst du ja eigentlich schon die Konveregenzbedingungen. Dass die Folge absolut konvergiert, kann man dann z.B. mit einer konvergenten Majorante nachweisen, indem du die Reihe nach oben abschätzt durch eine konvergente geom. Reihe.
Wenn du dir z.B mal die Folge
0 1 0 1 0 1 anguckst, dann hat deine Folge ja zwei verschiedene "Grenzwerte" für n gegen unendlich. Nämlich einmal 0 und einmal 1. Streng genommen ist das überhuap tkein Grenzwert, aber es sind eben lim sup und lim inf. Der lim sup ist der größte Häufungswert, der vorkommt (in diesem Fall also welche Zahl?) und der Limes Inferior ist der kleinste Häufungswert, der vorkommt. Also welche Zahl?
Ich hoffe, ich konnte dir damit helfen.
LG
Kroni
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