Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Do 02.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] für
a) [mm] a_{n}=\bruch{2^{n}+3^{n}}{6^{n}}
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)}
[/mm]
Hinweiszu b): Zur Bestimmung des Grenzwertes ist eine Partialbruchzerlegung hilfreich. |
Guten Tag,
a) Ich habe die Summe soweit berechnet wie es ging, kriege aber keie weitere Umformung mehr. Es gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^{n}+3^{n}}{6^{n}}=(\bruch{1}{3})^{1}+(\bruch{1}{2})^{1}+(\bruch{1}{3})^{2}+(\bruch{1}{3})^{2}+...=\bruch{1}{3}*(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3^{2}}+...)+\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^{2}}+...)=\bruch{1}{3}*(1+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3^{2}}+...)+\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^{2}}+...)=\bruch{1}{3}*(1+\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{3^{k}})+\bruch{1}{2}*(1+\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{k}})
[/mm]
Und jetzt weiß ich nicht mehr, wie ich weitermachen soll. Das [mm] \bruch{1}{3^{k}} [/mm] geht schonmal gegen Null. Die Summe also gegen [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ? Und analog mit der 2. Dann bekomme ich als gesamten Grenzwert [mm] \bruch{5}{3}. [/mm] Wenn ich aber Werte einsetze,dann bekomme ich als Grenzwert [mm] \bruch{3}{2}. [/mm]
Was mache ich falsch?
Und zur b): Für die PBZ brauche ich zunächst die Polstellen der Funktion.Diese sind n=0, n=-1 und n=-2. Darf ich hier auch negative Werte für das n nehmen? Bisher war es nämlich immer so, dass man bei einer Folge nur posotive Werte für n genommen hat.
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> Berechnen Sie [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] für
>
> a) [mm]a_{n}=\bruch{2^{n}+3^{n}}{6^{n}}[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)}[/mm]
>
> Hinweiszu b): Zur Bestimmung des Grenzwertes ist eine
> Partialbruchzerlegung hilfreich.
> Guten Tag,
>
> a) Ich habe die Summe soweit berechnet wie es ging, kriege
> aber keie weitere Umformung mehr. Es gilt:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^{n}+3^{n}}{6^{n}}=(\bruch{1}{3})^{1}+(\bruch{1}{2})^{1}+(\bruch{1}{3})^{2}+(\bruch{1}{3})^{2}+...=\bruch{1}{3}*(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3^{2}}+...)+\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^{2}}+...)=\bruch{1}{3}*(1+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3^{2}}+...)+\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^{2}}+...)=\bruch{1}{3}*(1+\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{3^{k}})+\bruch{1}{2}*(1+\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{k}})[/mm]
>
Hier hast Du Duch verschrieben:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^{n}+3^{n}}{6^{n}}=(\bruch{1}{3})^{1}+(\bruch{1}{2})^{1}+(\bruch{1}{3})^{2}+(\bruch{1}{\blue{2}})^{2}+...[/mm]
> Und jetzt weiß ich nicht mehr, wie ich weitermachen soll.
> Das [mm]\bruch{1}{3^{k}}[/mm] geht schonmal gegen Null. Die Summe
> also gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ? Und analog mit der 2. Dann
Die Summe geht nicht gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
Bedenke, daß der Index erst ab k=1 zu laufen beginnt.
Daher ergibt sich die Summe zu:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{3}\right)^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{3}\right)^{k}-1=\bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}-1=\bruch{1}{2}[/mm]
> bekomme ich als gesamten Grenzwert [mm]\bruch{5}{3}.[/mm] Wenn ich
> aber Werte einsetze,dann bekomme ich als Grenzwert
> [mm]\bruch{3}{2}.[/mm]
> Was mache ich falsch?
>
> Und zur b): Für die PBZ brauche ich zunächst die
> Polstellen der Funktion.Diese sind n=0, n=-1 und n=-2. Darf
> ich hier auch negative Werte für das n nehmen? Bisher war
> es nämlich immer so, dass man bei einer Folge nur posotive
> Werte für n genommen hat.
>
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
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Hallo,
bei der PBZ geht es doch nicht um die Folge, sondern nur um eine Termumformung. Dein Ansatz mit den Definitionslücken ist also genau der richtige!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | b) [mm] \bruch{1}{n\cdot{}(n+1)\cdot{}(n+2)}
[/mm]
c) [mm] \bruch{1}{(2n-1)\cdot{}(2n+5)} [/mm] |
Hallo,
> bei der PBZ geht es doch nicht um die Folge, sondern nur um
> eine Termumformung. Dein Ansatz mit den Definitionslücken
> ist also genau der richtige!
Gut, ich hab jetzt die PBZ durchgeführt und die Summen für b) und c) berechnet:
b) [mm] a_{n}=\bruch{1}{2n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2*(n+2)} [/mm] ist die PBZ. Dann habe ich
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n+2}). [/mm]
Aber jetzt gehen alle Summanden gegen Null und die Summe dann auch. Eigentlich sollte ja 0,25 als Grenzwert der Summe rauskommen.
Wie schätzt man das denn richtig ab, gegen was die Summe geht?
c) [mm] a_{n}=\bruch{1}{12n-6}-\bruch{1}{12n+30}. [/mm] Stimmt die PBZ so?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}=\bruch{1}{6}*\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{6}*\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n+5}=\bruch{1}{12}*(\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n-\bruch{1}{2}}+\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n-\bruch{5}{2}}).
[/mm]
Jetzt gehen beide Teilsummen gegen die 0, aber ich denke nicht, dass der Grenzwert Null ist, denn wenn ich ein paar Werte einsetze ergibt sich als grenzwert ungefähr 0,174...
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
> b) [mm]\bruch{1}{n\cdot{}(n+1)\cdot{}(n+2)}[/mm]
>
> c) [mm]\bruch{1}{(2n-1)\cdot{}(2n+5)}[/mm]
> Hallo,
>
> > bei der PBZ geht es doch nicht um die Folge, sondern nur um
> > eine Termumformung. Dein Ansatz mit den Definitionslücken
> > ist also genau der richtige!
>
> Gut, ich hab jetzt die PBZ durchgeführt und die Summen
> für b) und c) berechnet:
>
>
> b) [mm]a_{n}=\bruch{1}{2n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2*(n+2)}[/mm]
> ist die PBZ.
Stimmt, aber nächstes Mal rechne doch bitte vor.
Wozu alles doppelt rechnen? Ist doch unnütze Zeitverschwendung!
> Dann habe ich
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n+2}).[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bis auf den Laufindex, das ist mal wieder schlampig aufgeschrieben
> Aber jetzt gehen alle Summanden gegen Null
Verstehe ich nicht, was meinst du?
> und die Summe
> dann auch.
Verstehe ich auch nicht.
> Eigentlich sollte ja 0,25 als Grenzwert der
> Summe rauskommen.
> Wie schätzt man das denn richtig ab, gegen was die Summe
> geht?
Es ist [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{n=1}^ka_n}_{=:S_k}[/mm]
Also der Reihenwert ist GW der Partialsummen(folge)
Eins solche Partialsumme [mm]S_k[/mm] schreibe dir mal hin:
[mm]\summe_{n=1}^{k} \left(\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{n+2}\right) \ = \ \frac{1}{2}\cdot{}\summe_{n=1}^{k}\left[ \ \bruch{1}{n} \ - \ \bruch{2}{n+1} \ + \ \bruch{1}{n+2} \ \right][/mm]
Nun kannst du die Summe auseinanderziehen (ist ja endlich) und dann ein bisschen mit Indexverschiebungen hantieren, so dass du in allen drei Summen über - sagen wir - [mm]\frac{1}{n}[/mm] summierst. Wenn das mal steht, siehst du schon, wie es weiter läuft. Das gibt eine nette Teleskopsumme, in
der sich das meiste weghebt.
Für den kärglichen Rest mache die Grenzbetrachtung [mm]k\to\infty[/mm] und du hast den Reihenwert.
>
>
>
> c) [mm]a_{n}=\bruch{1}{12n-6}-\bruch{1}{12n+30}.[/mm] Stimmt die PBZ
> so?
Auch hier gilt: Zumindest in groben Zügen vorrechnen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}=\bruch{1}{6}*\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{6}*\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n+5}=\bruch{1}{12}*(\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n-\bruch{1}{2}}+\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n-\bruch{5}{2}}).[/mm]
>
> Jetzt gehen beide Teilsummen gegen die 0, aber ich denke
> nicht, dass der Grenzwert Null ist, denn wenn ich ein paar
> Werte einsetze ergibt sich als grenzwert ungefähr
> 0,174...
Habe ich nicht nachgerechnet. Selbes Prozedere wie in der anderen Aufgabe.
Schreibe dir eine [mm]k[/mm]-te Partialsumme hin, klammere [mm]\frac{1}{6}[/mm] aus, ziehe die Summen auseinander und mache eine Indexverschiebung, so dass du die Nenner angleichst. Erhöhe etwa an der hinteren Summe den Laufindex um 3 und gleiche das entsprechend in der Summe aus ...
Dann wie oben ...
>
> Vielen Dank
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo schachuzipus,
vielen vielen Dank für die tolle Erklärung =). Jetzt hab ichs raus. Der erste Reihenwert ist 0.25 und für den 2. habe ich [mm] \bruch{2}{9}. [/mm] Ich denke das müsste so stimmen.
lg
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Hallo Mandy,
> Hallo schachuzipus,
>
> vielen vielen Dank für die tolle Erklärung =). Jetzt hab
> ichs raus. Der erste Reihenwert ist 0.25 und für den 2.
> habe ich [mm]\bruch{2}{9}.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich komme auf etwas anderes.
Du solltest also vorrechnen ...
> Ich denke das müsste so stimmen.
Ich denke nicht ...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 So 05.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
> > habe ich [mm]\bruch{2}{9}.[/mm]
>
> Ich komme auf etwas anderes.
>
> Du solltest also vorrechnen ...
>
> > Ich denke das müsste so stimmen.
>
> Ich denke nicht ...
Ich glaube ich habe meinen Fehler gefunden, er lag bei der Umindizierung,aber ich rechne trotzdem mal vor:
[mm] \summe_{n=1}^{k} (\bruch{1}{12n-6}-\bruch{1}{12n+30})=\bruch{1}{6}*(\summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{2n-1}-\summe_{n=4}^{k+3} \bruch{1}{2n-1})=\bruch{1}{6}*(1+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{2k+1}-...-\bruch{1}{2k+5}). [/mm]
Jetzt lasse ich k gegen unendlich laufen und bekomme als grenzwert der Reihe [mm] \bruch{23}{90}.
[/mm]
Stimmt es nun?
Vielen Dank
lg
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Holà,
> Hallo
>
> > > habe ich [mm]\bruch{2}{9}.[/mm]
> >
> > Ich komme auf etwas anderes.
> >
> > Du solltest also vorrechnen ...
> >
> > > Ich denke das müsste so stimmen.
> >
> > Ich denke nicht ...
>
> Ich glaube ich habe meinen Fehler gefunden, er lag bei der
> Umindizierung,aber ich rechne trotzdem mal vor:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{k} (\bruch{1}{12n-6}-\bruch{1}{12n+30})=\bruch{1}{6}*(\summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{2n-1}-\summe_{n=4}^{k+3} \bruch{1}{2n-1})=\bruch{1}{6}*(1+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{2k+1}-...-\bruch{1}{2k+5}).[/mm]
> Jetzt lasse ich k gegen unendlich laufen und bekomme als
> grenzwert der Reihe [mm]\bruch{23}{90}.[/mm]
Bestens!
> Stimmt es nun?
>
> Vielen Dank
> lg
>
Gruß
schachuzipus
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