Grenzwert einer Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:04 Mi 17.08.2005 | | Autor: | MisterMarc |
ich hab mal eine frage, bei der ich leider nicht weiter weiß.
ich möchte den grenzwert der reihe
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} x^{{n}^{2}}
[/mm]
berechnen.
mein ansatz ist
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} x^{{n}^{2}} [/mm] = 1 + x + [mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{9} [/mm] + ...
= [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} x^{n} [/mm] - ( [mm] \summe_{r=1}^{ \infty} \summe_{k=1}^{ \ 2 \*r} x^{k+ r^{2}})
[/mm]
doch leider komm ich damit nicht weiter, wenn man das ganze dann weiterrechnet kommt man auf unnützes zeug.
gibt es nicht einen anderen weg, das zu berrechnen. wäre nett, wenn
mir jemand helfen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Mi 17.08.2005 | | Autor: | matrinx |
Hallo Mister,
vielleicht steh ich grad aufm Schlauch...aber mit [mm]z=x^{2}[/mm] wird aus
[mm]\summe_{n=0}^{ \infty} x^{{n}^{2}}[/mm]
[mm]\summe_{n=0}^{ \infty} z^{n}[/mm]
das is die geometrische Reihe, das Konvergenzverhalten is bekannt. Rücksubstitution nich vergessen und das sollte es gewesen sein.
Grüsse
Martin
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Hallo Martin,
Ganz so leicht ist's nicht da,
[mm](x^2)^n=x^{2n}=(x^n)^2 \not= x^{(n^2)}[/mm]
Die von Dir vorgeschlagene reihe wäre ja:
[mm] 1+x^2+x^4+x^6+....
[/mm]
viele Grüße
mathemaduen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Mi 17.08.2005 | | Autor: | matrinx |
Das war also der Schlauch auf dem ich stand :)
Danke für die Beseitigung und Grüsse
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Mi 17.08.2005 | | Autor: | MisterMarc |
ja stimmt, so geht es leider nicht,
ähm, vielleicht andere ideen, das wäre echt toll
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Ohne letzte Gewißheit würde ich aus meiner Erfahrung heraus dennoch die Behauptung wagen, daß es für diese Reihe keinen geschlossenen Ausdruck gibt. Hier handelt es sich um eine sogenannte Lückenreihe.
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Hallo MisterMarc,
Grundsätzlich stimme ich hier Leopold(Gast) zu. Deswegen schlage ich mal ausrechnen vor.
1. Konvergenzüberlegung (Für welche x braucht man gar nicht erst losrechnen, weil es kein Ergebnis gibt)
für x [mm] \in [/mm] (-1,1) konvergiert die Reihe
2. losrechnen
Bsp.
[mm] s_i=\summe_{n=0}^{i}x^{n^2}
[/mm]
x=0,1
[mm] s_0=1
[/mm]
[mm] s_1=1,1
[/mm]
[mm] s_2=1,1001
[/mm]
[mm] s_3=1,100100001
[/mm]
Ich glaub' das reicht hier schon.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo MisterMarc,
es handelt sich bei der von Dir untersuchten Reihe um einen Spezialfall der ![[]](/images/popup.gif) Jacobischen $\vartheta$-Funktion.
Ich habe dies auch nur durch Zufall gefunden und kann Dir leider nichts weiteres dazu sagen. Immerhin sollte es jetzt einfacher sein, in der Literatur etwas darüber zu finden ...
Alles Gute,
Peter
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