Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Do 28.11.2013 | | Autor: | jonescom |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!} [/mm] |
Hallo an alle,
Die Aufgabe steht ja schon oben.
Den Grenzwert von Reihen haben wir schon öfters bestimmt, jedoch nur von leichteren, wo man immer die Partielbruchzerlegung benutzt hat und dann einfach nur rechnen musste.
Hier weiß ich allerdings gar nicht, wie ich anfangen soll?
Bei Untersuchung auf Konvergenz denkt man bei dem [mm] (-1)^n [/mm] sofort an das Leibnizkriterium, hilft einem das hier auch weiter?
Danke im Vorraus!
Jonescom
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> Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!}[/mm]
> Hallo an
> alle,
>
> Die Aufgabe steht ja schon oben.
> Den Grenzwert von Reihen haben wir schon öfters bestimmt,
> jedoch nur von leichteren, wo man immer die
> Partielbruchzerlegung benutzt hat und dann einfach nur
> rechnen musste.
>
> Hier weiß ich allerdings gar nicht, wie ich anfangen soll?
>
> Bei Untersuchung auf Konvergenz denkt man bei dem [mm](-1)^n[/mm]
> sofort an das Leibnizkriterium, hilft einem das hier auch
> weiter?
>
> Danke im Vorraus!
> Jonescom
Hallo Jonescom,
beachte, dass der Zähler des Bruches nur genau 2
verschiedene Werte annehmen kann (welche ?).
Darum wäre es möglicherweise eine gute Idee, die
Reihe in zwei Reihen aufzuteilen, nämlich eine für
die geradzahligen und eine für die ungeradzahligen
Werte von n . Bezeichne die Summen dieser beiden
Reihen in geeigneter Weise und spiele dann ein
wenig mit Linearkombinationen davon.
Euler lässt grüßen ! 
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Do 28.11.2013 | | Autor: | jonescom |
Hallo Al-Chwarizmi und danke für die Antwort.
Wenn ich das richtige verstehe meinst du [mm] \bruch{1}{(n+1)!} [/mm] für n ungerade und [mm] \bruch{3}{(n+1)!} [/mm] für n gerade.
Also kann man die Reihe aufteilen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{n1=0}^{m1} \bruch{1}{(n+1)!} [/mm] + [mm] \summe_{n2=0}^{m2} \bruch{3}{(n+1)!}
[/mm]
korrekt?
Ich weiß allerdings nicht, was du damit meinst, mit den Linearkombination zu spielen und auch nicht, was direkt Euler damit zu tun hat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Do 28.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Hallo Al-Chwarizmi und danke für die Antwort.
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> Wenn ich das richtige verstehe meinst du [mm]\bruch{1}{(n+1)!}[/mm]
> für n ungerade und [mm]\bruch{3}{(n+1)!}[/mm] für n gerade.
>
> Also kann man die Reihe aufteilen:
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!}[/mm] =
> [mm]\summe_{n1=0}^{m1} \bruch{1}{(n+1)!}[/mm] + [mm]\summe_{n2=0}^{m2} \bruch{3}{(n+1)!}[/mm]
>
> korrekt?
Korrektur!
Stimmt leider doch nicht. Ich denke die korrekte Aufteilung ist:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{((2k+1)+1)!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty}( \bruch{1}{(2k+1)!} [/mm] + [mm] \bruch{2}{(2k+1)!})
[/mm]
Jetzt kann man die Summe hinten auseinanderziehen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(2k+2)!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(2k+1)!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2}{(2k+1)!}
[/mm]
Jetzt ergeben [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(2k+2)!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(2k+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)!}
[/mm]
Man hat also:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2}{(2k+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)!} [/mm] + [mm] 2*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(2k+1)!}
[/mm]
Zum Grenzwert:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)!} [/mm] wie besprochen
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(2k+1)!} [/mm] Reihenentwicklungen des sinh
Kann das jemand bestätigen?
Gruß
Ebri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Do 28.11.2013 | | Autor: | jonescom |
Hallo Ebri,
Das Einzige, was ich dazu weiß, ist:
(n+1)! = (n+1)n!
Um so das (n+1) wegzubekommen müsste man also zuerst den Bruch mit (n+1) multiplizieren, also
[mm] \bruch{1^n(n+1)}{(n+1)n!} [/mm] und dann könnte man (n+1) kürzen und hätte [mm] \bruch{1^n}{n!} [/mm] , aber ich bin mir sehr unsicher, ob man diese Erweiteung so einfach vornehmen darf?
Grüße,
jonescom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Do 28.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Hallo Ebri,
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> Das Einzige, was ich dazu weiß, ist:
>
> (n+1)! = (n+1)n!
>
> Um so das (n+1) wegzubekommen müsste man also zuerst den
> Bruch mit (n+1) multiplizieren, also
>
> [mm]\bruch{1^n(n+1)}{(n+1)n!}[/mm] und dann könnte man (n+1)
> kürzen und hätte [mm]\bruch{1^n}{n!}[/mm] , aber ich bin mir sehr
> unsicher, ob man diese Erweiteung so einfach vornehmen
> darf?
>
> Grüße,
> jonescom
Hi!
Nein, das klappt nicht. Dann wäre es nicht mehr die gleiche Summe.
Betrachten wir mal
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{(n+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(0+1)!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(1+1)!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(2+1)!} [/mm] + ...
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3!} [/mm] + ...
Der Anfang der Summen ist Interessant.
Ebri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Do 28.11.2013 | | Autor: | jonescom |
Das sieht wirklich interessant aus, der einzige Unterschied ist also, dass in der unteren Summe, also [mm] \bruch{1^n}{n!} [/mm] ein Summant mehr vorne steht, also +1 im Ganzen, was doch aber für den Grenzwert dann keine Rolle mehr spielt.
Was sagt mir dieser Vergleich jetzt aber über den Grenzwert?
Tut mir leid, falls ich den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Do 28.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Das sieht wirklich interessant aus, der einzige Unterschied
> ist also, dass in der unteren Summe, also [mm]\bruch{1^n}{n!}[/mm]
> ein Summant mehr vorne steht, also +1 im Ganzen, was doch
> aber für den Grenzwert dann keine Rolle mehr spielt.
>
> Was sagt mir dieser Vergleich jetzt aber über den
> Grenzwert?
> Tut mir leid, falls ich den Wald vor lauter Bäumen nicht
> sehe.
Richtig erkannt. [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{n!} [/mm] hat einen Summand mehr als [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{(n+1)!} [/mm] und zwar [mm] \bruch{1}{0!}=1. [/mm] Ersetzte man [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{(n+1)!} [/mm] durch [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{n!} [/mm] hat man 1 zu zuviel addiert und muss diese wieder abziehen. Oder anders:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0!} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{(n+1)!}
[/mm]
<=>
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{(n+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{n!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{0!}
[/mm]
Jetzt noch einsetzten und den Grenzwert mit dem Tipp von Loddar bestimmen.
Das Ganze ist doch nicht so einfach, siehe Korrektur von abakus
Das der Grenzwert dadurch nicht beeinflusst wird stimmt nicht, es ist offensichtlich das ein Teil der Summe fehlt.
Ebri
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:50 Do 28.11.2013 | | Autor: | abakus |
> > Hallo Al-Chwarizmi und danke für die Antwort.
> >
> > Wenn ich das richtige verstehe meinst du [mm]\bruch{1}{(n+1)!}[/mm]
> > für n ungerade und [mm]\bruch{3}{(n+1)!}[/mm] für n gerade.
> >
> > Also kann man die Reihe aufteilen:
> >
> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!}[/mm] =
> > [mm]\summe_{n1=0}^{m1} \bruch{1}{(n+1)!}[/mm] + [mm]\summe_{n2=0}^{m2} \bruch{3}{(n+1)!}[/mm]
>
> >
> > korrekt?
>
> Sieht schon ganz gut aus. Die Summen laufen aber weiterhin
> bis [mm]\infty[/mm] und wenn du den Laufindex umbenennst musst du
> dies auch in der Summe tun!
>
> Wir haben also:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)!}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3}{(n+1)!}[/mm]
Hallo,
so funktioniert das aber nicht. Das sieht ja so aus, als würde jeder Summand in beiden Summen vorkommen (in Wirklichkeit ist es aber nur jeder zweite Summand, der in der einen bzw. in der anderen Summe vorkommt).
Ich empfehle außerdem, in der zweiten Summe den Zähler 3 in 1+2 aufzuteilen.
Dann hat man tatsächlich die durchgehende Summe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)!}[/mm] und außerdem noch für jedes gerade n die Summe von [mm]\bruch{2}{(n+1)!}[/mm] . Das mit dem geraden n bekommt man hin, indem man n dur 2k ersetzt:[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2}{(2k+1)!}[/mm]
Gruß Abakus
>
> Bei der hinteren Summe kann man die 3 raus ziehen:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)!}[/mm] +
> [mm]3*\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)!}[/mm]
>
> Schaut man sich den Tipp von Loddar an: [mm]\exp(x)[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{(n+1)!}[/mm] +
> [mm]3*\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1^{n}}{(n+1)!}[/mm]
>
> Problem: Im Nenner steht (n+1)! statt n!
> Diese Hürde gilt es noch zu bewältigen. Eine Idee?
>
> Gruß
> Ebri
>
>
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 22:13 Do 28.11.2013 | | Autor: | Ebri |
Hallo abakus
Da war ich ich wohl auf den Holzweg, danke das du aufpasst.
Meinst du das in etwa so?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{((2k+1)+1)!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty}( \bruch{1}{(2k+1)!} [/mm] + [mm] \bruch{2}{(2k+1)!})
[/mm]
Sorry an jonescom für die Umstände!
Ebri
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> Hallo Al-Chwarizmi und danke für die Antwort.
>
> Wenn ich das richtige verstehe meinst du [mm]\bruch{1}{(n+1)!}[/mm]
> für n ungerade und [mm]\bruch{3}{(n+1)!}[/mm] für n gerade.
>
> Also kann man die Reihe aufteilen:
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!}[/mm] =
> [mm]\summe_{n1=0}^{m1} \bruch{1}{(n+1)!}[/mm] + [mm]\summe_{n2=0}^{m2} \bruch{3}{(n+1)!}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> korrekt?
Mir ist nicht klar, was du mit n1 , n2 , m1 und m2 meinst ...
> Ich weiß allerdings nicht, was du damit meinst, mit den
> Linearkombination zu spielen und auch nicht, was direkt
> Euler damit zu tun hat?
Hallo,
da scheint sich einiges ereignet zu haben seit
meiner Antwort. Ich denke, dass es sich lohnen
würde, die Summen durch ein paar wenige
Glieder explizit anzudeuten, um sich einen
Überblick zu verschaffen.
Wir haben doch für die gesuchte Summe S:
$\ S\ =\ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!} [/mm] $
$\ =\ [mm] \summe_{g=0}^{\infty} \bruch{\overbrace{(-1)^g+2}^3}{(g+1)!}\ [/mm] +\ [mm] \summe_{u=0}^{\infty}\bruch{\overbrace{(-1)^u+2}^1}{(u+1)!}$
[/mm]
(wobei g nur die geraden und u nur die ungeraden Zahlen
durchlaufen soll !)
$\ =\ [mm] 3*\underbrace{\left(\frac{1}{1\,!}+\frac{1}{3\,!}+\frac{1}{5\,!}+\,...\ \right)}_A\ [/mm] +\ [mm] 1*\underbrace{\left(\frac{1}{2\,!}+\frac{1}{4\,!}+\frac{1}{6\,!}+\,...\ \right)}_B$
[/mm]
So. Und nun guck dir mal die beiden netten Reihen A
und B an sowie ihre Summe A+B und ihre Differenz A-B !
Die entsprechen nämlich fast haargenau (aber eben nur fast)
zwei berühmten Reihen, denen man ansehen sollte, dass
sie irgendwie mit der Eulerschen Zahl e zu tun haben
müssten. Schau dir also mal die Potenzreihen für [mm] e^x [/mm] , für
[mm] e^{-x} [/mm] und deren Spezialfälle für x=1 an und vergleiche
die Ergebnisse.
Wenn du merkst, was ich meine, kommst du auf ein
einfaches Gleichungssystem, aus dem du die Summenwerte
der Reihen A und B bestimmen kannst. Und wenn du so weit
bist, erhältst du auch den Wert der gesuchten Summe S,
denn die ist ja einfach gleich $\ 3*A+1*B$ !
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Do 28.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo jonescom!
Bedenke auch, dass gilt: [mm] $\exp(x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:13 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n+2}{(n+1)!}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ich würde Loddars Tipp benutzen:
$=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+1)!}+2*\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{-1}*\sum_{n=\red{1}}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}+2*\sum_{n=\red{1}}^\infty \frac{1}{n!}$
$=(-1)*\left(\left[\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^\ell}{\ell!}\right]-1\right]\right)+2*\left(\left[\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\right]-1\right)=-(\exp(-1)-1)+2*(\exp(1)-1)\,.$
Da kann man natürlich noch was weiter vereinfachen...
P.S. Umformungen mit Rechengesetzen für KONVERGENTE REIHEN begründen.
Hinweis:
Für
$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+1)!}$ und $2*\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)!}$
solltest Du (kurz) begründen, warum diese beiden Reihen konvergieren!
(Im Prinzip ist das Argument das gleiche, wie das, warum die
Exponentialreihe (stets) konvergiert. Oder Du sagst sowas wie, dass
eine konvergente Reihe konvergent bleibt, wenn man nur endlich viele
Summanden verändert...)
Gruß,
Marcel
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