Grenzwert einer Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:02 Sa 15.08.2009 | | Autor: | Sword |
| Aufgabe | [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{4*2^{x}}
[/mm]
Wie groß ist der Wert, wenn man unbegrenzt addiert |
hallo allerseits^^
da ich bald Physik studieren möchte, wurde mir ein Mathe-Vorkurs empfohlen. Dazu ließen sich einige Übungsaufgaben im Internet finden. Darunter war unter anderem auch diese Frage zu finden, deren Art ich in meiner Schulzeit bislang noch nicht begegnet bin.
Nun weißt die Aufgabenstellung ja darauf hin, dass eine Konvergenz besteht, da ja ein Grenzwert gefunden werden soll. Betrachtet man die Funktion ohne die Summe, geht diese gegen 0.
Ich habe mal einige Regeln versucht anzuwenden (kleiner Gauß etc.) jedoch scheint keine davon so wirklich zu passen. Folglich komme ich leider nicht umhin, nach dem Ansatz zu fragen^^
Gibt es da neben dem "scharfen anschauen" der ersten Ergebnisse und dem Raten einer möglichen Regel, die man dann induktiv beweisen darf, bzw. dem nachschlagen im Regelwerk weitere Methoden, diese Grenzwerte zu bestimmen?
Würde ich nämlich dieses "scharfe Ansehen und Raten" benutzen, käme ich auf die Formel [mm] \bruch{0,5*2^{n+2}-1}{2^{n+2}}. [/mm] dabei käme dann durch das Grenzwertverfahren [mm] \bruch{0,5*2^{n+2}}{2^{n+2}}-\bruch{1}{2^{n+2}}=0,5-\bruch{1}{2^{n+2}}==>\limes_{n\rightarrow\infty}0,5-\bruch{1}{2^{n+2}}=0,5-\bruch{1}{\infty}==>0,5 [/mm] raus. Nur gefällt mir Raten nicht sonderlich, weil man das so schlecht verallgemeinern kann.
mit freundlichen Grüßen
Sword
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Sa 15.08.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> $ [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{4\cdot{}2^{x}} [/mm] $
du meinst bestimmt
$ [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{4\cdot{}2^{\red{i}}} [/mm] $
Es ist
$ [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{4\cdot{}2^{\red{i}}} [/mm] $
[mm] =\bruch{1}{4}*\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{2^{\red{i}}} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*\summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{2})^{\red{i}}
[/mm]
Es liegt eine geometrische Reihe vor. Wie du deren Wert berechnen kannst, findest du zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß barsch
|
|
|
|
