Grenzwert einer Vektor Folge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:02 Di 31.05.2005 | | Autor: | Freak84 |
hallo Zusammen
Ich habe hier ein Problem und auch ein Ansatz aber ich stecke irgendwie fest
[mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] seine linea unabhängige Vekoren im [mm] \IR^{2}. [/mm] Man bestimmge den Grenzwert der Folge { [mm] a_{i} [/mm] | i = 1,2,..... } , [mm] a_{i+2} [/mm] = [mm] \bruch{a_{i}+a_{i+1}}{2}
[/mm]
mein Ansatz ist nun
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] a_{1}
[/mm]
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] a_{2}
[/mm]
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] \bruch{a_{1}+a_{2}}{2}
[/mm]
[mm] a_{4} [/mm] = [mm] \bruch{a_{1}+a_{2}+a_{2}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{a_{1}+2*a_{2}}{2}
[/mm]
[mm] a_{8} [/mm] = [mm] \bruch{8*a_{1}+13**a_{2}}{2}
[/mm]
Ich sehe hier drin nur das der vorfaktor vor dem [mm] a_{1} [/mm] langsamer wächst als vor dem [mm] a_{2}
[/mm]
Wenn ich nun den [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} [/mm] von der Foleg macht wir [mm] a_{2} [/mm] doch viel größer und [mm] a_{1} [/mm] verschwindet fast also müsste die folge doch gegen [mm] \bruch{k*a_{2}}{2} [/mm] laufen??
Nun meine Frage bin ich total auf dem Holzweg oder könnte es so gehen?
Bitte um eure Hilfe
Vielen Dank
Michael
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Hallo Freak84.
Versuch doch mal folgendes.
Setze [mm] b=a_2-a_1.
[/mm]
Dann lässt sich jedes Folgenglied schreiben als
[mm] a_n=a_1+\lambda_n*b.
[/mm]
Etwa: [mm] a_1=a_1+0*b
[/mm]
[mm] a_2=a_1+1*b
[/mm]
[mm] a_3=a_1+\frac{1}{2}*b
[/mm]
Anstatt das Problem in einem Vektorraum zu betrachten, kann man die Folge der [mm] \lambda_n [/mm] im Intervall [0,1] betrachten. Es müsste (leicht) möglich sein zu zeigen, dass die Folge
[mm] (\lambda_{2n+1}) [/mm] eine monoton wachsende GEOMETRISCHE Reihe ist. Ebenso müsste die Folge
[mm] (\lambda_{2n}) [/mm] eine monoton fallende geometrische Reihe sein.
Genauer müsste gelten:
[mm] \lambda_{2n+1} [/mm] = 1/2 + 1/8 + ... + [mm] 1/2^{2n+1}
[/mm]
[mm] \lambda_{2n}= [/mm] 1 - 1/4 - 1/16 - ... - [mm] 1/2^{2n}
[/mm]
Beide Folgen haben den selben Grenzwert, nämlich [mm] \frac{2}{3}.
[/mm]
Für den Limes der Vektoren gilt dann: [mm] lim=a_1 [/mm] + [mm] \frac{2}{3} [/mm] * b = [mm] \frac{1}{3} a_1 [/mm] + [mm] \frac{2}{3} a_2
[/mm]
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Freak84 |
Vielen Dank
Nur was ich nicht ganz verstehe, warum du das b = [mm] a_{2} [/mm] - [mm] a_{1} [/mm] setzt.
Die Vektoren werden doch immer addiert in den Aufgabe??
Gruß
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Hexe |
Ja schon aber dafür steht ja das [mm] a_1 [/mm] davor ausgerechnet steht da [mm] a_n=\lambda_na_2+(1-\lambda_n)a_1
[/mm]
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