Grenzwert einer funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Yami |
Hallo,
und zwar geht es um die Grenzwerte eher gesagt um einen nämlich x gegen 0
Also ich weiß das das undefiniert ist:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x}
[/mm]
und zwar deshalb weil der Nenner nicht null werden darf ich kann hier nur von links und rechts betrachten das ist mir klar.
Jedoch berechnet er denn hier ganz normal:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{2 - \bruch{1}{x}}
[/mm]
hier kommt 0 raus. Jetzt hat mein kollege argumentiert das geht im Nenner der bruch [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gegen unendlich... ich sagte das stimmt doch gar nicht der nenner darf nicht null werden... er meinte dann wieder ja das gilt aber hier nur für den nenner der ganzen funktion.
Also ich bin der meinung das das falsch ist...
Was ich dann gemacht habe ich habe die 2 im nener um 2 erweitert und dann dann mit dem Kehrwert multipliziert.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x}{2*x - 1}
[/mm]
das würde dann auch gegen null gehen.
Meine frage muss ich das so umformen oder kann ich wie mein kollege einfach argumentieren das der nenner durch den bruch [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gegen unendlich geht die 2 ändert da auch nichts und dadurch würde die ganze sache gegen 0 gehen....
Weil mein kollege nannte mir auch dieses beispiel noch:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{\bruch{1}{x}} [/mm] geht auch gegen 0, selbe argumentation erst im nenner gegen unendlich und dann das ganze gegen 0...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Mo 16.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Argumentation, indem du mit x erweitert, was ja auch im zweiten Beispiel geht, ist einfacher und besser.
Vorallem wenn du nicht nur redest, sondern den Gw. wirklich mit [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] nachweisen musst ist das mit dem erweitern viel schneller und besser.
Das Argument allerdings mit 1/x gegen Unendlich kann man ohne das Verbot durch 0 zu teilen retten: wenn x gegen 0 geht, wird 1/x beliebig gross, der Nenner also beliebig gross und damit bei beschränktem Zähler der Bruch beliebig klein.
Aber nochmal: um genau zu sein muss man zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein delta finden so [mm] dass|f(x)|<\epsilon [/mm] ist, wenn [mm] |x|<\delta [/mm] und das ist auf deinem Weg eins schneller.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Yami |
Weil ich benutze das Programm MuPAD Pro und als ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x}
[/mm]
zeigt er als undefiniert an.
Aber für
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{1}{2 - \bruch{1}{x}}
[/mm]
zeigt er aber 0 an..
Kann ich also trotzdem hier argumentieren das es gegen unednlich geht? Das würde auch bedeuten das ich mich von rechts nähere oder? weil es ja positiv unendlich wird... stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Mo 16.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Weil ich benutze das Programm MuPAD Pro und als ich
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x}[/mm]
> zeigt er als
> undefiniert an.
ist auch richtig, andere schreiben
[mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x}=\infty[/mm]
> Aber für
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{1}{2 - \bruch{1}{x}}[/mm]
> zeigt
> er aber 0 an..
Das hattest du doch auch durch deine Umformung gezeigt, und ich dir bestätigt.
GW heisst ja nicht, dass du 0 einstzen sollst, sondern wenn x beliebig nahe an 0 ist, ist auch [mm] \bruch{1}{2 - \bruch{1}{x}} [/mm] beliebig nahe an 0. wie gesagt, genauer mit [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta!
[/mm]
Was an meinen vorigen Ausführungen hast du den nicht verstanden?
[mm] \bruch{x}{2x+1} [/mm] geht doch sicher gegen Null?
Nein es geht eindeutig gegen 0!
Gruss leduart
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