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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert einer komplexen Folg
Grenzwert einer komplexen Folg < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert einer komplexen Folg: e berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Mo 25.02.2008
Autor: meinmathe

Hallo,

ich möchte den Grenzwert der komplexen Folge [mm] a_n=\bruch{(4+5i)^n+6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i} [/mm] berechnen.

Soweit ich weiß, soll sich dieser wie bei reellen Folgen berechnen lassen. Leider komme ich aber nicht sehr weit:
[mm] a_n=\bruch{(4+5i)^n+6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i} [/mm]
= [mm] \bruch{(4+5i)^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i} [/mm] + [mm] \bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{4+5i + 7i} [/mm] + [mm] \bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{4+12i} [/mm] + [mm] \bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{4+12i} [/mm] + [mm] \bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}} [/mm]


Daraus folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{4+12i} [/mm] + [mm] \bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}}) [/mm]
=  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{4+12i} [/mm] +  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{4+12i}+ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}} [/mm]

Leider weiß ich nicht wie ich weiter bei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}} [/mm] vorgehen kann.


LG meinmathe

        
Bezug
Grenzwert einer komplexen Folg: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Mo 25.02.2008
Autor: abakus


> Hallo,
>  
> ich möchte den Grenzwert der komplexen Folge
> [mm]a_n=\bruch{(4+5i)^n+6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm] berechnen.
>  
> Soweit ich weiß, soll sich dieser wie bei reellen Folgen
> berechnen lassen. Leider komme ich aber nicht sehr weit:
>  [mm]a_n=\bruch{(4+5i)^n+6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
>  =
> [mm]\bruch{(4+5i)^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm] +
> [mm]\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]

Hallo,
ich würde anders vorgehen
[mm]a_n=\bruch{(4+5i)^n+6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}=\bruch{(4+5i)^n+7i-7i+6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}=1-\bruch{7i}{(4+5i)^{n+1} + 7i}+\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]

Jetzt kannst du die Beträge der drei Summanden für n gegen unendlich einzeln betrachten.
Viele Grüße
Abakus



>  = [mm]\bruch{1}{4+5i + 7i}[/mm] +
> [mm]\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
>  = [mm]\bruch{1}{4+12i}[/mm] +
> [mm]\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
>  = [mm]\bruch{1}{4+12i}[/mm] +
> [mm]\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}}[/mm]
>  
>
> Daraus folgt:
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm]
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{4+12i}[/mm] +
> [mm]\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}})[/mm]
>  =  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{4+12i}[/mm] +  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{1}{4+12i}+ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}}[/mm]
>  
> Leider weiß ich nicht wie ich weiter bei
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{\wurzel[n]{(4+5i)^{n+1} + 7i}}[/mm]
> vorgehen kann.
>  
>
> LG meinmathe




Bezug
                
Bezug
Grenzwert einer komplexen Folg: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Mo 25.02.2008
Autor: meinmathe

Hallo,

leider stoße ich dabei auf das selbe Problem:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{7i}{(4+5i)^{n+1} + 7i}+\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i} [/mm] =
= 1- [mm] \bruch{7i}{\limes_{n\rightarrow\infty}(4+5i)^{n+1} +7i} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i} [/mm]
= 1-0 + ?
Ich würde sagen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] strebt, aber beweisen kann ich es nicht.


LG meinmathe

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert einer komplexen Folg: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Mo 25.02.2008
Autor: abakus


> Hallo,
>  
> leider stoße ich dabei auf das selbe Problem:
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{7i}{(4+5i)^{n+1} + 7i}+\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
> =
>  = 1- [mm]\bruch{7i}{\limes_{n\rightarrow\infty}(4+5i)^{n+1} +7i}[/mm]
> + [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
>  
> = 1-0 + ?
>  Ich würde sagen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}[/mm]
> gegen [mm]\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

strebt, aber beweisen kann ich es nicht.

>  
>
> LG meinmathe


Es ist $\bruch{6^n}{(4+5i)^{n+1} + 7i}=\bruch{6^n}{(4+5i)^{n}*(4+5i) + 7i}=\bruch{1}{(\bruch{4+5i}{6})^{n}*(4+5i) + \bruch{7i}{6^n}$
(Ich habe Zähler und Nenne durch 6^n geteilt.
Der Betrag von \bruch{4+5i}{6} ist größer als 1...


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