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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 So 04.03.2012 | | Autor: | Lewser |
| Aufgabe | | Gesucht ist der Grenzwert von x*sin(a/x) wenn x gegen unendlich strebt. |
Durch Einsetzen bekomme ich 0*undendlich, schaue in mein schlaues Buch und das sagt mir ich darf umformen zu:
sind(a/x) * 1/1/x
Dann bekomme ich 0/0 heraus und leite ab.
So die Theorie. In der Lösung steht, dass das Ergebnis "a" ist. Aber bei der Umformung sehe ich doch bereits, dass ich immer durch unendlich teile ...
Wo ist mein Fehler?
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Hallo,
ich verstehe deine Frage nicht ganz. Bisher hast du doch alles richtig gemacht. ZUnächst umformen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x*sin\left(\bruch{a}{x}\right)=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin\left(\bruch{a}{x}\right)}{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Wie du richtig gesehen hast, entsteht der nicht definierte Ausdruck 0/0. Also Zähler und Nenner ableiten:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin\left(\bruch{a}{x}\right)}{\bruch{1}{x}}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-\bruch{a}{x^2}*cos\left(\bruch{a}{x}\right)}{-\bruch{1}{x^2}}
[/mm]
und mit cos(0)=1 folgt der Grenzwert.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 So 04.03.2012 | | Autor: | Lewser |
Ohauerha, ich habe übersehen, dass der Nenner ja 1/x ist und ich somit dann nach dem Ableiten das [mm] x^2 [/mm] kürzen kann ... Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Mo 05.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Für a=0 ist die Sache klar.
Sei also a [mm] \ne [/mm] 0.
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}x*sin(a/x)= \limes_{t \rightarrow 0}\bruch{1}{t}*sin(at)=a \limes_{t \rightarrow 0}\bruch{1}{at}*sin(at)= [/mm] a [mm] \limes_{s \rightarrow 0}\bruch{sin(s)}{s}=a$
[/mm]
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