Grenzwert existiert nicht < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Do 16.02.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] sei wie folgt definiert:
[mm] f(x)=\begin{cases} x²*sin(1/x), & \mbox{für } x\not= \mbox{ 0} \\ 0, & \mbox{für } x= \mbox{ 0} \end{cases}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f'(x) [/mm] nicht existiert. |
Hallo,
so,
also ich habe da so Probleme mit der Aufgabe.
Man soll also zeigen, dass der Limes der ersten Ableitung nicht existiert.
D.h. man müsse ersteinmal f'(x) bestimmen.
Da habe ich aber so probleme damit.
Ich weiß zwar, dass die erste Ableitung von x²*sin(1/x) = 2x*sin(1/x)-cos(1/x) ist.
Aber ich nehme an, dass ich dieses mit
f'(a)= [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)-f(a)}{x-a} [/mm] berechnen muss.
Da habe ich jedoch Probleme bei.
Ich muss ja hier x gegen a streben lassen.
Aber muss a = 0 sein ?
Kann mir jemand mal helfen wie ich das zu tuen habe.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Do 16.02.2006 | | Autor: | djmatey |
Hi,
> Die Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] sei wie folgt definiert:
> [mm]f(x)=\begin{cases} x²*sin(1/x), & \mbox{für } x\not= \mbox{ 0} \\ 0, & \mbox{für } x= \mbox{ 0} \end{cases}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass der Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f'(x)[/mm]
> nicht existiert.
> Hallo,
>
> so,
> also ich habe da so Probleme mit der Aufgabe.
> Man soll also zeigen, dass der Limes der ersten Ableitung
> nicht existiert.
>
> D.h. man müsse ersteinmal f'(x) bestimmen.
also streng genommen müsstest Du erstmal mit dem Differenzenquotienten zeigen, dass f in 0 differenzierbar ist.
Dafür setzt Du a=0 in Deinem Quotienten und bekommst heraus, dass
f'(0) = 0 gilt.
Ist dies nun gezeigt, bestimmst Du f'(x).
> Da habe ich aber so probleme damit.
> Ich weiß zwar, dass die erste Ableitung von x²*sin(1/x) =
> 2x*sin(1/x)-cos(1/x) ist.
Die Ableitung stimmt, aber so kannst Du das nicht schreiben, denn die beiden Seiten sind nicht gleich!
> Aber ich nehme an, dass ich dieses mit
> f'(a)= [mm]\limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}[/mm]
> berechnen muss.
Die Ableitung kannst Du einfach mit der Produktregel berechnen. Damit kommt man auf Dein Ergebnis. Der Sonderfall x=0 muss einzeln betrachtet werden, d.h. f'(0)=0 sollte extra angegeben werden.
>
> Da habe ich jedoch Probleme bei.
> Ich muss ja hier x gegen a streben lassen.
> Aber muss a = 0 sein ?
Wenn Du die Ableitung allgemein (also nicht an einer bestimmten Stelle) mit dem Quotienten berechnen willst, musst Du a allgemein betrachten. Setzt Du a=0, berechnest Du die Ableitung an der Stelle 0.
Gehen wir davon aus, dass Du nun mit der Produktregel die Ableitung (die Du ja schon angegeben hast) berechnet hast, kannst Du nun den Limes der Ableitung für x gegen 0 betrachten.
Dabei läuft 2x gegen 0, [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] bleibt für alle x betragsmäßig kleiner gleich 1, also konvergiert der erste Summand wegen der Grenzwertsätze gegen 0.
Der zweite Summand konvergiert jedoch nicht, denn cos schwankt ja, wenn x gegen 0 läuft (d.h. [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] läuft), zwischen -1 und 1. Daher existiert kein Grenzwert.
> Kann mir jemand mal helfen wie ich das zu tuen habe.
Ich hoffe, das habe ich hiermit getan 
Liebe Grüße,
Matthias
> Danke.
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