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Hallo.
Ich habe ein kleines Problem! Gegeben ist folgende Fkt.:
[mm] f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x \le 1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x > 1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Ich wollte nun mit der h-Methode zeigen, ob diese Fkt. stetig ist. Ansatz:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0^-}f(x)=2(1-h)-1=1
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0^+}f(x)=(1+h)^2=1
[/mm]
Da beide übereinstimmen, wäre die Fkt. Stetig. Wäre das so richtig oder mach ich was falsch?
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> Hallo.
> Ich habe ein kleines Problem! Gegeben ist folgende Fkt.:
> [mm]f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x \le 1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x > 1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Ich wollte nun mit der h-Methode zeigen, ob diese Fkt.
> stetig ist. Ansatz:
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0^-}f(x)=2(1-h)-1=1[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0^+}f(x)=(1+h)^2=1[/mm]
Stimmt schon. Bloß der Grenzwert muss für Stetigkeit auch mit dem Funktionswert übereinstimmen. Das musst du hier auch noch überprüfen, aber das ist ja schnell gemacht:
f(1)=2*1-1=1
[mm] f(1)=1^2=1
[/mm]
Also stimmt!
>
> Da beide übereinstimmen, wäre die Fkt. Stetig. Wäre das so
> richtig oder mach ich was falsch?
Stimmt, bis auf die kleine Ergänzung :).
Liebe Grüße,
exe
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Hi, domenigge,
> Ich habe ein kleines Problem! Gegeben ist folgende Fkt.:
> [mm]f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x \le 1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x > 1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Ich wollte nun mit der h-Methode zeigen, ob diese Fkt.
> stetig ist. Ansatz:
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0^-}f(x)=2(1-h)-1=1[/mm]
1) Du darfst den "lim" nicht vergessen,
denn: 2(1 - h) - 1 = 2 - 2h - 1 = 1 - 2h.
Und dies ist natürlich für beliebiges h nicht gleich 1.
2) Wenn Du einerseits h [mm] \to 0^{\red{-}} [/mm] schreibst, andererseits dann wieder (1 [mm] \red{-} [/mm] h), dann kommst Du VON RECHTS gegen 1. Du wolltest aber doch VON LINKS kommen, stimmt's?!
Daher: [mm] \limes_{\red{x}\rightarrow\ \red{1}^{-}}f(x)= \red{\limes_{h\rightarrow\ 0}}2(1-h)-1=1
[/mm]
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0^+}f(x)=(1+h)^2=1[/mm]
Analoges gilt natürlich hier!
mfG!
Zwerglein
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Hm.... Also wenn ich mir das mal ganz genau angucke, dann glaube ich habe ich generell irgendwie falsch gerechnet.
Also ich komme zunächst von links an die Fkt. f(x)=2x-1 ,für [mm] x\le1
[/mm]
Müsste ich dann nicht eigentlich schreiben [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1^-} [/mm] anstatt [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0^-}? [/mm] Für die Fkt. [mm] f(x)=x^2 [/mm] dann dasselbe.
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Hi, domenigge,
> Hm.... Also wenn ich mir das mal ganz genau angucke, dann
> glaube ich habe ich generell irgendwie falsch gerechnet.
>
> Also ich komme zunächst von links an die Fkt. f(x)=2x-1
> ,für [mm]x\le1[/mm]
>
> Müsste ich dann nicht eigentlich schreiben
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1^-}[/mm] anstatt [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0^-}?[/mm]
> Für die Fkt. [mm]f(x)=x^2[/mm] dann dasselbe.
Richtig; das hab' ich oben auch "verseppelt"!
(Ich werd's gleich ausbessern!)
Also:
(1) x geht immer gegen die vorgegebene Stelle, und zwar
a) von links
b) von rechts
und
c) am Ende sozusagen "direkt drauf", was Dir eXeQter ja mit seiner Antwort schon klargemacht hat.
(2) h hingegen geht immer gegen 0. Und da man meistens mit positivem h arbeitet, wird das "von links" bzw. von "rechts" nur über das Vorzeichen im Term ausgedrückt!
Jetzt klar?!
mfG!
Zwerglein
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Achso gut das wusste ich noch nicht. heißt wenn ich die h-Methode anwende, dann geht h immer gegen Null. Egal welcher Definitionsbereich für mein x angegeben ist. Okay dann ist das soweit klar. Welche Methode macht sich denn immer am besten?
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Hi, domenigge,
> Achso gut das wusste ich noch nicht. heißt wenn ich die
> h-Methode anwende, dann geht h immer gegen Null. Egal
> welcher Definitionsbereich für mein x angegeben ist.
Richtig; noch dazu sozusagen immer "von rechts" (weswegen Du gar nicht mehr [mm] 0^{+} [/mm] schreiben musst und [mm] 0^{-} [/mm] ist - wie Du oben gesehen hast - sogar falsch!)
> Okay dann ist das soweit klar. Welche Methode macht sich denn
> immer am besten?
Also ehrlich gesagt verwende ich die h-Methode bei der STETIGKEIT gar nicht mehr. Von Vorteil ist sie erst, wenns um die Differenzierbarkeit mit dem Differenzenquotienten geht.
Wenn der Aufgabensteller diese Methode allerdings verlangt, dann musst Du sie auch verwenden und somit "beherrschen".
Aber merke: Hier ist eigentlich nicht die Rechnung das schwierige, sondern die formal richtige Schreibweise!
mfG!
Zwerglein
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Super. Ich danke vielmals für die Hilfe  hat mir sehr weitergeholfen.
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