Grenzwert in einem Punkt < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Sa 19.01.2008 | | Autor: | moomann |
| Aufgabe | Prüfen Sie nach, ob die folgende Funktion im angegebenen Punkt einen Grenzwert besitzt und bestimmen Sie diesen gegebenenfalls.
Für [mm] n\in\IN [/mm] die Funktion [mm] f_{n}:\IR_{<0}\to\IR, x\mapsto\bruch{1}{x^{n}}*exp\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] im Punkt x=0 |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo!
Ich weiß bereits, dass der gesuchte Grenzwert 0 ist. Allerdings habe ich Probleme bei dem formalen Beweis.
Mein Ansatz:
z.z.:
[mm] \forall\varepsilon>0 \exists\delta>0 \forall x\in\IR_{<0}: |x|<\delta \Rightarrow {x^{n}}*exp\left(\bruch{1}{x}\right)<\varepsilon
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Setze [mm] \delta:= [/mm] (??). Sei [mm] x\in\IR_{<0} [/mm] und [mm] |x|<\delta. [/mm]
Nun meine Fragen: Wie bestimme ich das Delta? Wie kann ich dann zeigen, dann [mm] {x^{n}}*exp\left(\bruch{1}{x}\right)<\varepsilon [/mm] gilt?
Vielen Dank im Voraus!
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> Prüfen Sie nach, ob die folgende Funktion im angegebenen
> Punkt einen Grenzwert besitzt und bestimmen Sie diesen
> gegebenenfalls.
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> Für [mm]n\in\IN[/mm] die Funktion [mm]f_{n}:\IR_{<0}\to\IR, x\mapsto\bruch{1}{x^{n}}*exp\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm]
> im Punkt x=0
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo!
>
> Ich weiß bereits, dass der gesuchte Grenzwert 0 ist.
> Allerdings habe ich Probleme bei dem formalen Beweis.
>
> Mein Ansatz:
>
> z.z.:
> [mm]\forall\varepsilon>0 \exists\delta>0 \forall x\in\IR_{<0}: |x|<\delta \Rightarrow {x^{n}}*exp\left(\bruch{1}{x}\right)<\varepsilon[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon>0.[/mm] Setze [mm]\delta:=[/mm] (??). Sei [mm]x\in\IR_{<0}[/mm]
> und [mm]|x|<\delta.[/mm]
>
> Nun meine Fragen: Wie bestimme ich das Delta?
Bist Du sicher, dass Du nicht die Kenntnis gewisser Grenzwerte annehmen darfst, auf die Du den obigen Grenzwert zurückführen kannst? Es ist doch
[mm]\lim_{x\rightarrow 0-}f_n(x)=\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x^n}\mathrm{e}^{1/x}=\lim_{x\rightarrow +\infty} (-x)^n\mathrm{e}^{-x}=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{(-x)^n}{\mathrm{e}^x}=0[/mm]
Um das letzte Gleichheitszeichen in dieser Umformungskette einzusehen muss man nur wissen, dass [mm] $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^n}{\mathrm{e}^x}=0$ [/mm] ist und noch kurz (aber wirklich nur ganz kurz) über das $-$ vor dem $x$ in [mm] $(-x)^n$ [/mm] nachdenken...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Sa 19.01.2008 | | Autor: | moomann |
Danke erst mal für deine Antwort. Allerdings habe ich mehrere Probleme.
1. Man darf die Limes-Schreibweise doch erst benutzen, wenn man weiß, dass der Grenzwert überhaupt existiert.
2. Leider ist in unserer Vorlesung die Eulersche Zahl noch nicht eingeführt worden.
3. Ich darf nur die Grenzwerte annehmen, die bereits bewieson worden sind. Es wäre aber wahrscheinlich kein so großes Problem, deinen Grenzwert zu beweisen.
4. Das zweite Gleichheitszeichen müsste auch erst mal bewiesen werden, fürchte ich.
Ja, ja, so ist das im ersten Semester. Alles was man aus der Schule kennt, muss man wieder vergessen.
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> Danke erst mal für deine Antwort. Allerdings habe ich
> mehrere Probleme.
> 1. Man darf die Limes-Schreibweise doch erst benutzen,
> wenn man weiß, dass der Grenzwert überhaupt existiert.
Man verwendet in diesen Fällen eine Art "rückwärtsgerichtete" Rechtfertigung: das Ergebnis zeigt, dass die Limites alle richtigerweise hingeschrieben wurden und dass alle gleich sind 
Ein anderes Vorgehen ist zwar vielleicht "seriöser", aber ganz ekelhaft mühsam: darum macht es schliesslich auch kaum einer so (ausser vielleicht in einer Einführungsvorlesung).
> 2. Leider ist in unserer Vorlesung die Eulersche Zahl noch
> nicht eingeführt worden.
Aber die Exponentialfunktion muss doch sicher eingeführt worden sein. - Daher die Frage: wie wurde sie eingeführt?
> 3. Ich darf nur die Grenzwerte annehmen, die bereits
> bewieson worden sind.
Siehst Du unter diesen bereits bewiesenen Grenzwerten etwas, in dem die Exponentialfunktion auftritt? - Und wenn ja: um welche (bekannten) Grenzwerte handelt es sich dabei?
> Es wäre aber wahrscheinlich kein so
> großes Problem, deinen Grenzwert zu beweisen.
> 4. Das zweite Gleichheitszeichen müsste auch erst mal
> bewiesen werden, fürchte ich.
Aber es ist doch klar, dass [mm] $\frac{1}{x}$, [/mm] wenn [mm] $x\rightarrow [/mm] 0-$ geht, äquivalent damit ist $-x$, [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] gehen zu lassen: Stell Dir doch eine beliebige "Testfolge" [mm] $x_n$ [/mm] mit [mm] $x_n\rightarrow [/mm] 0-$ vor. Dies sind alles negative Zahlen, deren Kehrwerte [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] gegen [mm] $-\infty$ [/mm] gehen. Da wir [mm] $\frac{1}{x^n}\mathrm{exp}(1/x)$ [/mm] als [mm] $\left(\frac{1}{x}\right)^n\mathrm{exp}(1/x)$ [/mm] schreiben können, lässt sich die Testfolge somit durch [mm] $y_n [/mm] := [mm] -\frac{1}{x_n}$ [/mm] mit [mm] $y_n\rightarrow +\infty$ [/mm] und das Argument des Limes durch [mm] $(-y)^n\mathrm{exp}(-y)$ [/mm] ersetzen. (Nur dass ich bei $x$ geblieben bin: aber der Name der Variablen, für die hier der Limes untersucht wird, tut eigentlich nichts zur Sache.)
> Ja, ja, so ist das im ersten Semester. Alles was man aus
> der Schule kennt, muss man wieder vergessen.
Entweder muss [mm] $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^n}{\mathrm{exp}(x)}=0$ [/mm] bereits in der Vorlesung bewiesen worden sein (und Du darfst diesen Grenwert demnach benutzen), oder Du musst diesen Grenzwert aufgrund der Definition der Exponentialfunktion, die Du benutzen darfst, erst selbst beweisen.
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