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Grenzwert links und rechts: Wie geht es weiter?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Di 06.06.2006
Autor: svensven

Aufgabe
Berechnen Sie im Falle der Existenz den Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow2}\bruch{x^3-6x^2+11x-6}{x^2-4} [/mm]

Hallo,

die Aufgabe habe ich soweit gelöst:

[mm] \limes_{n\rightarrow2}\bruch{x^3-6x^2+11x-6}{x^2-4} [/mm]

für den linksseitigen:
[mm] \bruch{(x-h)^3-6(x-h)^2+11(x-h)-6}{(x-h)^2-4} [/mm]
...
ausmultipliziert und zusammengefasst:
...
= [mm] \bruch{h^3-h}{h^2+4h} [/mm]

aber wie komme ich dann auf [mm] \bruch{-1}{4} [/mm] ?

Reicht die Begründung das [mm] h^3 [/mm] schneller gegen 0 läuft als h
und [mm] h^2 [/mm] schneller gegen 0 läuft als 4h und somit da nur noch
[mm] \bruch{-h}{4h} [/mm] steht, dies gekürzt ergibt dann: [mm] \bruch{-1}{4} [/mm] ?
Oder gibt's da noch einen elganteren Weg?



        
Bezug
Grenzwert links und rechts: Korrektur + Ausklammern
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Di 06.06.2006
Autor: Roadrunner

Hallo svensven!



>  ausmultipliziert und zusammengefasst:  ... = [mm]\bruch{h^3-h}{h^2+4h}[/mm]

[notok] Hier erhalte ich: $... \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-h^3+h}{h^2-4h}$ [/mm]

Und nun kannst Du in Zähler und Nenner jeweils $h_$ ausklammern und kürzen; anschließend die Grenzwertbetrachtung, welche Dich zum vorgegebenen Ergebnis bringen sollte.



>  Oder gibt's da noch einen elganteren Weg?

Zum einen liegt hier für [mm] $x\rightarrow [/mm] 2$ der Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vor, so dass man mit MBde l'Hospital vorgehen kann.

Noch eleganter wäre hier allerdings, den Nenner aufzulösen in [mm] $x^2-4 [/mm] \ = \ (x+2)*(x-2)$ (3. binomische Formel), und anschließend die MBPolynomdivision "Zähler durch $(x-2)_$" durchzuführen.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Grenzwert links und rechts: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 Di 06.06.2006
Autor: svensven

Hi,
ich habe mich leider in den Vorzeichen vertan, weil ich die Rechnung für den rechtsseitigen abgeschrieben habe.
Danke für Deine Hilfe.


Bezug
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