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| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung die folgenden Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{cos (x) - 1}{x}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{sin(ax)}{x}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{\wurzel{1 + x} - 1}{x}
[/mm]
d) [mm] \limes_{x\rightarrow\ \bruch{\pi}{2} }\bruch{ln(sin x)}{1- sin x} [/mm] |
Also mein Vorgehen bei der a) ist folgendes:
Erstmal die Entwicklung vom cos x = 1 - [mm] 0,5x^{2} [/mm] gemacht und das anstelle der cosinus eingesetzt
nun habe ich ja [mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{-x^{2}}{2x} [/mm] dieser Grenzwert wäre 0 und deshalb benutze ich L'Hopital:
f(x) = [mm] -0,5*x^{2} [/mm] f'(x)= -x
g(x) = x g'(x) = 1
mein neuer Limes:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{-x}{1} [/mm] wäre ja immernoch 0 und deshalb hänge ich hier ein bisschen fest. Ist der GW jetzt tatsächlich 0?
Wenn ich diese Aufgabe bereits richtig gelöst habe, dann setz ich mich an die nächsten und setze die Fragen die ich eventuell dazu habe hier natürlich auch rein.
Ich bin diesem Forum treu ergeben und poste deshalb nirgendswo sonst :)
Gruß,
Immi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 So 08.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung die
> folgenden Grenzwerte:
> a) [mm]\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{cos (x) - 1}{x}[/mm]
> b)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{sin(ax)}{x}[/mm]
> c) [mm]\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{\wurzel{1 + x} - 1}{x}[/mm]
>
> d) [mm]\limes_{x\rightarrow\ \bruch{\pi}{2} }\bruch{ln(sin x)}{1- sin x}[/mm]
>
> Also mein Vorgehen bei der a) ist folgendes:
>
>
> Erstmal die Entwicklung vom cos x = 1 - [mm]0,5x^{2}[/mm] gemacht
> und das anstelle der cosinus eingesetzt
>
> nun habe ich ja [mm]\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{-x^{2}}{2x}[/mm]
> dieser Grenzwert wäre 0 und deshalb benutze ich
> L'Hopital:
Wozu das?
Kürzen von x liefert -x/2.
L'Hospital wird nur bei "0/0", nicht aber bei "0/2" angewendet.
Die Potenzreihenentwicklung geht natürlich noch weiter, aber auch bei allen höheren Potenzen hat man nach dem Kürzen von x im Zähler Null und im Nenner die Fakultäten, die nicht Null sind.
Gruß Abakus
>
> f(x) = [mm]-0,5*x^{2}[/mm] f'(x)= -x
> g(x) = x g'(x) = 1
>
> mein neuer Limes:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{-x}{1}[/mm] wäre ja immernoch 0
> und deshalb hänge ich hier ein bisschen fest. Ist der GW
> jetzt tatsächlich 0?
>
> Wenn ich diese Aufgabe bereits richtig gelöst habe, dann
> setz ich mich an die nächsten und setze die Fragen die ich
> eventuell dazu habe hier natürlich auch rein.
>
> Ich bin diesem Forum treu ergeben und poste deshalb
> nirgendswo sonst :)
>
> Gruß,
> Immi
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Ich hab den L'Hopital an der Stelle forciert, weil gemunkelt wird, dass es Punktabzug gibt, wenn wir ihn nicht benutzen. Bleibt der Grenzwert dennoch 0?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 So 08.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich hab den L'Hopital an der Stelle forciert, weil
> gemunkelt wird, dass es Punktabzug gibt, wenn wir ihn nicht
> benutzen. Bleibt der Grenzwert dennoch 0?
Aber sicher.
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