Grenzwert mit cos und Wurzel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm]\limes_{x\rightarrow\frac{1}{3}}\frac{2cos(\pi*x)-1}{\sqrt{9x+1}-2}[/mm] |
Hallo!
Bei der Aufgabenstellung steht als Hinweis man soll die Additionstheoreme verwenden und ich habe schon verschiedene Kombinationen versucht, aber noch keine gefunden die mich weiter bringt. Könnte mir bitte jemand sagen, ob eine meiner Kombinationen zum Ziel führt, oder mir evt. sagen wie ich das Addtheorem hier anwenden soll, damit ich mich nicht total auf Abwege begebe? (Bitte nur Tipp)
[mm]cos(\frac{\pi*x}{2}+\frac{\pi*x}{2})....
cos(\pi+(x-1)\pi)....
cos(2x+(\pi-2)x)[/mm]
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Mi 25.11.2009 | | Autor: | fred97 |
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\frac{1}{3}}\frac{2cos(\pi*x)}{\sqrt{9x+1}-2}[/mm]
> Hallo!
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> Bei der Aufgabenstellung steht als Hinweis man soll die
> Additionstheoreme verwenden und ich habe schon verschiedene
> Kombinationen versucht, aber noch keine gefunden die mich
> weiter bringt. Könnte mir bitte jemand sagen, ob eine
> meiner Kombinationen zum Ziel führt, oder mir evt. sagen
> wie ich das Addtheorem hier anwenden soll, damit ich mich
> nicht total auf Abwege begebe? (Bitte nur Tipp)
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> [mm]cos(\frac{\pi*x}{2}+\frac{\pi*x}{2})....
cos(\pi+(x-1)\pi)....
cos(2x+(\pi-2)x)[/mm]
>
> Vielen Dank!
Es ist [mm] $cos(\bruch{\pi}{3}) [/mm] = 1/2$, somit geht der Zähler von [mm] \frac{2cos(\pi*x)}{\sqrt{9x+1}-2} [/mm] gegen 1 für x [mm] \to \bruch{1}{3}
[/mm]
Der Nenner geht für x [mm] \to \bruch{1}{3} [/mm] gegen 0,
also ist [mm]\limes_{x\rightarrow\frac{1}{3}}\frac{2cos(\pi*x)}{\sqrt{9x+1}-2}= \infty[/mm]
Bist Du sicher, dass der Grenzübergang x [mm] \to \bruch{1}{3} [/mm] gemeint ist ?
FRED
>
> Gruß
>
> Angelika
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:59 Mi 25.11.2009 | | Autor: | AbraxasRishi |
Hallo!
Entschuldige Fred, ich hab mich wiedermal vertippt. Im Zähler sollte noch ...-1 stehen.
Gruß
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Hallo,
Also wenn bei dieser Aufgabe nicht stehen würde, man solle die Additionstheoreme verwenden, hätte ich gesagt: einmal die Regel von de L´Hospital anwenden liefert den gesuchten Grenzwert.
Viele Grüße
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Hallo Angelika,
ich sehe überhaupt nicht, was irgendein Additionstheorem da weiterhelfen könnte. Die heißen ja nicht umsonst Additionstheoreme...
Natürlich könntest Du [mm] \pi*x [/mm] aufteilen in [mm] x+(\pi-1)x [/mm] etc. - aber ob das hilft, bezweifle ich.
Wenn es also nur um einen "Hinweis" zur Aufgabe geht, ignoriere ihn: ms2008de hatte da einen viel besseren Vorschlag.
lg
reverend
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Hallo und danke für die Tipps!
Ich würde es ja auch mit L'Hospital machen, nur haben wir die Differentialrechnung noch nicht durchgemacht und der Proseminarsleiter wird damit sicher keine Freude haben.
Ich glaub einfach nicht das wir so schwierige Aufgaben bekommen...irgendwo muss da doch ein Trick sein. Ich habe z.B. auch schon versucht 1 mit den TrigPyth zu verwandeln, auch ohne Erfolg.
Gruß
Angelika
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\frac{1}{3}}\frac{2cos(\pi*x)-1}{\sqrt{9x+1}-2}[/mm]
> Hallo!
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> Bei der Aufgabenstellung steht als Hinweis man soll die
> Additionstheoreme verwenden und ich habe schon verschiedene
> Kombinationen versucht, aber noch keine gefunden die mich
> weiter bringt. Könnte mir bitte jemand sagen, ob eine
> meiner Kombinationen zum Ziel führt, oder mir evt. sagen
> wie ich das Addtheorem hier anwenden soll, damit ich mich
> nicht total auf Abwege begebe? (Bitte nur Tipp)
> Vielen Dank!
> Gruß
> Angelika
Hallo Angelika,
ich habe mir überlegt, was der Hinweis "Additionstheoreme"
hier wohl bedeuten soll. Wenn x gegen [mm] \frac{1}{3} [/mm] streben soll, kann
man natürlich [mm] x=\frac{1}{3}+\varepsilon [/mm] schreiben und dann das [mm] \varepsilon [/mm] gegen Null
streben lassen. Damit hat man
[mm] cos(\pi*x)=cos\left(\frac{\pi}{3}+\varepsilon*\pi\right)=cos\left(\frac{\pi}{3}\right)*cos(\varepsilon*\pi)-sin\left(\frac{\pi}{3}\right)*sin(\varepsilon*\pi)
[/mm]
Da du nur einen Tipp willst, lasse ich es dabei bewenden.
Hoffentlich hilft's !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:21 Do 26.11.2009 | | Autor: | reverend |
Gute Idee!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Al,
es hilft nichts, denn aus dem fraglichen Quotienten wird:
[mm] \bruch{cos(\varepsilon * \pi) - \wurzel{3}*sin(\varepsilon * \pi)-1}{\wurzel{9*\varepsilon+4}-2}
[/mm]
FRED
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> Hallo Al,
>
> es hilft nichts, denn aus dem fraglichen Quotienten wird:
>
> [mm]\bruch{cos(\varepsilon * \pi) - \wurzel{3}*sin(\varepsilon * \pi)-1}{\wurzel{9*\varepsilon+4}-2}[/mm]
>
> FRED
Hi Fred,
Doch, es hilft schon. Ich hab' es ausprobiert. Man muss
natürlich mit [mm] \left(\wurzel{9*\varepsilon+4}+2\,\right) [/mm] erweitern, und dann kann man
verwenden, dass
$\ [mm] sin(\varepsilon*\pi)\ \sim\ \varepsilon*\pi$
[/mm]
$\ [mm] cos(\varepsilon*\pi)\ \sim\ 1-\frac{1}{2}\,(\varepsilon*\pi)^2$
[/mm]
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Al,
> >
> > es hilft nichts, denn aus dem fraglichen Quotienten wird:
> >
> > [mm]\bruch{cos(\varepsilon * \pi) - \wurzel{3}*sin(\varepsilon * \pi)-1}{\wurzel{9*\varepsilon+4}-2}[/mm]
>
> >
> > FRED
>
>
> Hi Fred,
>
> Doch, es hilft schon. Ich hab' es ausprobiert. Man muss
> natürlich mit [mm]\left(\wurzel{9*\varepsilon+4}+2\,\right)[/mm]
> erweitern, und dann kann man
> verwenden, dass
>
> [mm]\ sin(\varepsilon*\pi)\ \sim\ \varepsilon*\pi[/mm]
>
> [mm]\ cos(\varepsilon*\pi)\ \sim\ 1-\frac{1}{2}\,(\varepsilon*\pi)^2[/mm]
>
>
> LG Al
>
>
Hi Al,
da hast Du recht. Dann hätte zu dem Hinweis "Additionstheorem" auch noch der Hinweis "Potenzreihenentwicklung" gehört
FRED
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Hallo!
Erstmal danke für die kreative Idee Al. Aber wie Fred schon gesagt hat, weiß ich nicht genau, ob das mit der Approximation gutgeht...
Potenzreihen und auch Sinusreihe dürfen leider nicht vorausgesetzt werden. Vielleicht geht es ja doch elementarer. Die werden uns doch nicht Aufgaben geben die wir gar nicht lösen können. Oder das mit der Approximation lassen sie als "intuitiv" durchgehen.
Gruß
Angelika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Erstmal danke für die kreative Idee Al. Aber wie Fred
> schon gesagt hat, weiß ich nicht genau, ob das mit der
> Approximation gutgeht...
Ich habe Al doch zugestimmt, mit der Reihenentw. geht es gut !
> Potenzreihen und auch Sinusreihe dürfen leider nicht
> vorausgesetzt werden.
Frage: wie habt Ihr den Sinus und Cosinus eingeführt ?
FRED
> Vielleicht geht es ja doch
> elementarer. Die werden uns doch nicht Aufgaben geben die
> wir gar nicht lösen können. Oder das mit der
> Approximation lassen sie als "intuitiv" durchgehen.
>
> Gruß
>
> Angelika
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Hallo Angelika,
noch eine Idee.
Substituiere mal [mm] t=\wurzel{9x+1}, [/mm] und im Zähler mithin [mm] x=\bruch{t^2-1}{9}. [/mm] Dann kannst Du auch ein Additionstheorem anwenden. Untersuche den Grenzwert für [mm] t\to{2}.
[/mm]
Sieht g anz vielversprechendaus. Ich will nur gerade nicht in meiner Lieblingspizzeria nach Papier fragen - wo sie mir doch schon Zugang zu ihrem privaten WLAN gegeben haben...
lg
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Idee (hier wird der Ableitungsbegriff benutzt, ich hoffe, dass das erlaubt ist):
Sei $f(x) := [mm] 2cos(\pi [/mm] x)$
Dann ist, wenn man noch mit [mm] \sqrt{9x+1}+2 [/mm] erweitert und ich mich nicht zu sehr verrechnet habe:
[mm] $\frac{2cos(\pi\cdot{}x)-1}{\sqrt{9x+1}-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}*\bruch{f(x)-f(1/3)}{x-1/3}*(\sqrt{9x+1}+2) \to \bruch{4}{9}f'(1/3)= -\bruch{4 \pi}{3 \wurzel{3}}$ [/mm] für $x [mm] \to [/mm] 1/3$
FRED
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Hallo Angelika,
wenn die Reihenentwicklungen nicht erlaubt sein
sollen, dann aber doch hoffentlich die Formeln der
Trigonometrie. Setze
$\ [mm] t:=tan\left(\frac{\varepsilon*\pi}{2}\right)$
[/mm]
Dann kannst du [mm] sin(\varepsilon*\pi) [/mm] und [mm] cos(\varepsilon*\pi) [/mm] mittels t ausdrücken.
Siehe ![[]](/images/popup.gif) Doppelwinkelformeln (Diese Formeln kommen auch
von den Additionstheoremen her !)
Was man dann noch wissen muss, ist
[mm] $\limes_{\alpha\to 0}\,\frac{tan(\alpha)}{\alpha}\ [/mm] =\ 1$
LG Al-Chw.
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Ich bin echt beeindruckt von der Vielzahl an Lösungen die ich hergezaubert habt. Da habt ihr wirklich ordentlich in die Trickkiste gegriffen...
Die trigonometrischen Funktionen wurden bei uns über Seitenverhältnisse bei Dreiecken eingeführt.
@fred: Ich glaubte übrigens schon, dass die Approx. an sich gutgeht, ich dachte nur sie beruht auf Reihenentwicklung was, wie du gesagt hast, nicht als Hinweis stand. Deshalb die Skeptik.
@revered: Werd ich ausprobieren.(Wohin einem Mathematiker so ein Grenzwer nicht überall nachläuft...Schreib bloß nicht den Tisch voll )
Gruß
Angelika
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> Ich bin echt beeindruckt von der Vielzahl an Lösungen die
> ich hergezaubert habt.
Hallo Angelika,
sehr schön gesagt: "... die ich hergezaubert habt" !
mit anderen Worten:
"die ihr aufgrund meiner Frage hergezaubert habt"
darin liegt ein Teil des Zaubers, der den MatheRaum
am Leben hält und gedeihen lässt !
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Fr 27.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Angelika,
auf die "Musterlösung bin ich sehr gespannt. Würdest Du uns diese Lösung bitte mitteilen, wenn sie Dir zur Verfügung steht ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Sa 28.11.2009 | | Autor: | reverend |
Schön, ich werde es auch mit Interesse lesen.
Ebenso wüsste ich gern die Musterlösung zu der Aufgabe mit Wurzeln und Logarithmus...
rev
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Mach ich gern...
Wobei ich denke, Al hat da schon die "Musterlösung" angewand. Die Exponentialreihe haben wir nämlich gemacht und irgendwo im Skript fand ich den Grenzwert, den Al mit der Differentialrechnung hergeleitet hat.
Gruß
Angelika
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Hallo!
Die Musterlösungen(Es ist die 4. Aufgabe):
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:57 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Angelika,
jedenfalls hab ich mich hier
https://matheraum.de/read?i=622712
nicht verrechnet
FRED
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