Grenzwert mittels Cauchy Pr. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Do 15.12.2005 | | Autor: | DarkSea |
| Aufgabe | Zeige, dass für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z| < 1$ gilt:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)z^k [/mm] = [mm] 1/(1-z)^2$ [/mm] |
Bei dieser netten Aufgabe komme ich nicht weiter... Wir sollen irgendwie das Cauchy Produkt verwenden und es soll irgendwie auf eine geometrische Reihe führen. Ich habe schon versucht, die Funktion zu quadrieren, das Cauchy Produkt auszuführen und dann auf das Quadrat des GW zu kommen, hat allerdings auch nicht wirklich funktioniert. Fällt jemand noch ein anderer Ansatz ein oder muss das so irgendwie gehen ?
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Do 15.12.2005 | | Autor: | DarkSea |
Für das Cauchyprodukt habe ich:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \summe_{i=0}^{\infty}(i+1)(k+1-i)z^k
[/mm]
(ohne Gewähr...)
aber davon jetzt den Grenzwert.. hmm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Do 15.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo darksea
[mm]Sn=\summe_{k=0}^{n}(k+1)z^k[/mm]
berechne z*Sn und dann Sn-z*Sn =Sn*(1-z) das geht einfacher als das Cauchyprodukt. (deins ist falsch, kannst du nachprüfen, indem du die paar ersten einsetzest!) auch das oben siehst du leichte, wnn du die ersten 3 Summanden aufschreibst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Do 15.12.2005 | | Autor: | DarkSea |
Hm, funktioniert das wirklich ? Ich habe dann da stehen:
1 + 2z + [mm] 3z^{2} [/mm] + .... + [mm] (n+1)z^{n} [/mm] - z - [mm] 2z^{2} [/mm] - [mm] 3z^{3} [/mm] - .....
dann würden ka noch jede Menge Terme mit z stehen bleiben...
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Fr 16.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib doch mal auf was stehen bleibt! und dann solltest du die Summe kennen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Fr 16.12.2005 | | Autor: | DarkSea |
Wow, hast recht, das ist ja plötzlich ganz einfach :)
Vielen Dank.
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 10:30 Fr 16.12.2005 | | Autor: | DarkSea |
hm, eine blöde Frage hätte ich dazu doch noch: wenn man die Differenz bildet, hat man ganz am Ende den Term: [mm] -(n+1)*z^{n+1} [/mm] welcher ja dem [mm] -q^{n+1} [/mm] bei der geometrischen Reihe entspricht.. nun müsste man noch zeigen, dass dieser auch gegen 0 konvergiert oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Frage hat sich ja jetzt offenbar erledigt...
Liebe Grüße
Julius
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Es geht hier ganz einfach auch mit dem Cauchy-Produkt, ganz im Sinne der originalen Aufgabenstellung.
[mm]\left( \sum_{n=0}^{\infty}~x^n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^{\infty}~x^n \right) \ = \ \frac{1}{(1-x)^2}[/mm]
Jetzt das Cauchy-Produkt berechnen. Schon steht das Ergebnis da.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Fr 16.12.2005 | | Autor: | DarkSea |
Joa, mein Problem dabei: ich hab für ein [mm] c_{k}, [/mm] also für nur ein Glied des Cauchy Produkts genau die Reihe die ich brauche,aber beim Cauchy Produkt summiert man doch noch oder ?
Habe jetzt hier:
[mm] 1/(1-z)^{2} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \summe_{i=0}^{k} (i+1)*z^{i}
[/mm]
(wobei die Grenzen an den Summen glaub ich so auch nicht so ganz richtig sind, aber naja...
Cauchy Produkt ist doch: [mm] \summe_{k=0}^{\infty} c_{k} [/mm] mit [mm] c_{k} [/mm] = [mm] a_{k}b_{0} [/mm] + [mm] a_{k-1}b{1} [/mm] + ... + [mm] a_{0}b_{k} [/mm] und ich habe jetzt für [mm] c_{k} [/mm] genau die gesuchte Summe.. hmm
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Mit der von dir selber angegebenen Formel für das Cauchy-Produkt folgt:
[mm] $\frac{1}{(1-z)^2} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left( \sum\limits_{i=0}^k 1 \cdot 1 \right) \cdot z^k [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] (k+1) [mm] \cdot z^k$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Fr 16.12.2005 | | Autor: | DarkSea |
das war wohl ne Denkblokade, ist eigentlich ganz logisch :)
danke
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