Grenzwert n-te Wurzel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{2*2^n+1^n}[/mm]
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Vermutlich ist die Frage laecherlich einfach und schnell beantwortet, aber ich wuerde gerne mehr darueber erfahren.
Ich haette jetzt folgendes gemacht, da wir nach diesem Loesungsschema solche Probleme loesen (es entstammt urspruenglich aus einem Cauchy Produkt und dem bestimmen des Konvergenzradius):
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{2*2^n+1^n} = 2 * \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{2^n + \frac{1}{2}^n}[/mm]
Damit waere der Grenztwert = 2.
So der Prof argumentierte hierzu mit:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n} = 1[/mm]
Die Frage die sich mir stellt: Wieso gilt das hier auch? Unter der Wurzel steht doch:
[mm]2^n + \frac{1}{2}^n \neq n[/mm]
Koennte mir das jemand erklaeren?
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Hallo evilmaker,
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{2*2^n+1^n}[/mm]
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> Vermutlich ist die Frage laecherlich einfach und schnell
> beantwortet, aber ich wuerde gerne mehr darueber erfahren.
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> Ich haette jetzt folgendes gemacht, da wir nach diesem
> Loesungsschema solche Probleme loesen (es entstammt
> urspruenglich aus einem Cauchy Produkt und dem bestimmen
> des Konvergenzradius):
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> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{2*2^n+1^n} = 2 * \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{2^n + \frac{1}{2}^n}[/mm]
???
Na, stimmt das denn?
Es ist doch [mm]\sqrt[n]{2\cdot{}2^n+1}=\sqrt[n]{2^n\cdot{}\left[2+\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]}[/mm]
[mm]=2\cdot{}\sqrt[n]{2+\left(\frac{1}{2}\right)^n}[/mm]
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> Damit waere der Grenztwert = 2.
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> So der Prof argumentierte hierzu mit:
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n} = 1[/mm]
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> Die Frage die sich mir stellt: Wieso gilt das hier auch?
> Unter der Wurzel steht doch:
>
> [mm]2^n + \frac{1}{2}^n \neq n[/mm]
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> Koennte mir das jemand erklaeren?
Ist es nun klar mit der richtigen Umformung?
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Gruß
schachuzipus
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Ok die Umformung hab ich verstanden - danke dafuer. Aber wieso laeuft der limes dann gegen 1? Es steht unter der Wurzel doch kein n?!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo evilmaker!
> Aber wieso laeuft der limes dann gegen 1?
> Es steht unter der Wurzel doch kein n?!
Aber es gilt: [mm]1 \ \le \ 2+\left(\bruch{1}{2}\right)^n \ \le \ n[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Do 11.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo evilmaker!
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> > Aber wieso laeuft der limes dann gegen 1?
> > Es steht unter der Wurzel doch kein n?!
>
> Aber es gilt: [mm]1 \ \le \ 2+\left(\bruch{1}{2}\right)^n \ \le \ n[/mm]
..... für n [mm] \ge [/mm] 3.
FRED
>
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> Gruß
> Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Do 11.07.2013 | | Autor: | fred97 |
[mm] 2=\sqrt[n]{2^n} \le \sqrt[n]{2\cdot{}2^n+1} \le \sqrt[n]{2\cdot{}2^n+2^n} =\sqrt[n]{3\cdot{}2^n}=2*\sqrt[n]{3}
[/mm]
Vielleicht hat Dein Prof. dann Folgendes gemacht:
2 [mm] \le \sqrt[n]{2\cdot{}2^n+1} \le 2*\sqrt[n]{3} \le 2*\sqrt[n]{n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 3.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Do 11.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mit [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ braucht man hier gar nicht argumentieren, es reicht, wenn man
[mm] $\sqrt[n]{a} \to [/mm] 1$ für $a > 0$ weiß:
Mit
[mm] $\sqrt[n]{2*2^n+1^n}=2*\sqrt[n]{2+(\tfrac{1}{2})^n}$
[/mm]
benutze man die (für jedes $n [mm] \in\IN$ [/mm] gültige) Abschätzung
[mm] $2*\sqrt[n]{2} \le 2*\sqrt[n]{2+(\tfrac{1}{2})^n} \le 2*\sqrt[n]{3}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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