Grenzwert rekurs. Zahlenfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Fr 08.06.2007 | | Autor: | chacho |
| Aufgabe | Grenzwerte rekursiver Zahlenfolgen:
Durch die folgende Vorschrift ist eine rekursiv definierte Folge reeller Zahlen [mm] (x_{n}) [/mm] mit Startwert [mm] x_{0} [/mm] = 1,5 gegeben:
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{ln(x_{n}) + 2}
[/mm]
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a) Zeigen Sie: Konvergiert die Folge [mm] x_{n}, [/mm] so konvergiert Sie gegen eine Nullstelle x von F(x) = x² - ln(x) - 2
b) Wieviele Nullstellen hat F(x) auf der positiven reellen Achse? Gegen welche dieser Nullstellen kann obige Folge nur konvergieren?
c) Wieviele Glieder der Zahlenfolge muss mann berechnen, um sicher zu sein x bis auf einen Fehler von [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] 10^{-5} [/mm] anzunähern? Bergründen Sie Ihre Antwort.
Hinweis: Banachscher Fixpunktsatz mit x [mm] \in [/mm] [1,2]
Diese Aufgabe kam in einer alten Prüfung dran und ich begreife einfach nicht wie sie funktioniert. Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo chaco,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Unter der Vorraussetzung, dass [mm] $x_n$ [/mm] konvergiert, gilt ja:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1} [/mm] \ =: \ x$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mo 11.06.2007 | | Autor: | chacho |
Tut mir leid, das hilft mir leider nicht wirklich weiter. Es wäre sehr nett wenn Sie etwas genauer werden könnten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mo 11.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie loddar sagte, [mm] limx_n=limx_{n+1}=x
[/mm]
daraus [mm] x=\wurzel{lnx+2}
[/mm]
jetzt quadrieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Di 12.06.2007 | | Autor: | chacho |
ok soweit so gut.
Wenn ich es quadriere habe ich x²=ln(x)+2 oder f(x) = x²-ln(x) -2.
Ich weiß, dass x>0 sein muss da lnx nur für positive Zahlen definiert ist.
Wie komme ich auf die Nullstellen dieser Funktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Di 12.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ok soweit so gut.
> Wenn ich es quadriere habe ich x²=ln(x)+2 oder f(x) =
> x²-ln(x) -2.
> Ich weiß, dass x>0 sein muss da lnx nur für positive
> Zahlen definiert ist.
> Wie komme ich auf die Nullstellen dieser Funktion?
Wozu brauchst du denn die `exakte' Nullstelle(n)?
Du kannst sie approximativ z.B. vom Computer ausrechnen lassen (etwa mit Maple oder Mathematica oder was auch immer).
Exakt angeben kannst du sie nur in einer Form wie ``die Nullstelle von [mm] $x^2 [/mm] - [mm] \ln [/mm] x - 2$ in [mm] $[x_0, x_1]$'', [/mm] wobei [mm] $[x_0, x_1]$ [/mm] ein klein genuges Intervall ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Di 12.06.2007 | | Autor: | chacho |
Erst mal danke für die Rückmeldungen.
Ich denke bei Aufgabenteil b) muss ich die exakten Nullstellen berechnen (ohne Computerprogramm) und dann entscheiden gegen welche dieser Nullstellen die Folge konvergiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Di 12.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Erst mal danke für die Rückmeldungen.
> Ich denke bei Aufgabenteil b) muss ich die exakten
> Nullstellen berechnen (ohne Computerprogramm) und dann
> entscheiden gegen welche dieser Nullstellen die Folge
> konvergiert.
Dann hast du hier eine andere Aufgabenstellung (b) hingeschrieben. In der steht naemlich nur, dass du die Anzahl der Nullstellen angeben sollst und sagen sollst, gegen welche es konvergiert, aber nicht, dass du irgendeine davon exakt angeben sollst.
LG Felix
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