Grenzwert rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 So 13.04.2008 | | Autor: | pete06 |
| Aufgabe | [mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] a_{n}^{2}+\bruch{1}{5}
[/mm]
[mm] a_{0} [/mm] := 0 |
Hallo zusammen,
kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich den Genzwert der rekursiven Folge:
[mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] a_{n}^{2}+\bruch{1}{5}
[/mm]
berechne, mit [mm] a_{0} [/mm] := 0 ?
Vielen Dank,
Pete
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 So 13.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]a_{n}^{2}+\bruch{1}{5}[/mm]
> [mm]a_{0}[/mm] := 0
> Hallo zusammen,
>
> kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich den Genzwert der
> rekursiven Folge:
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]a_{n}^{2}+\bruch{1}{5}[/mm]
>
> berechne, mit [mm]a_{0}[/mm] := 0 ?
>
> Vielen Dank,
> Pete
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
was macht die Aufgabe im Forum Klasse (1-4)?
Überlege Dir, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] monoton wachsend ist. Und nun solltest Du noch zeigen, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] nach oben beschränkt ist.
Konsequenz: Nach dem Hauptsatz über monotone Folgen konvergiert [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] gegen ein $a [mm] \in \IR$.
[/mm]
Mit der Rekusionsvorschrift
[mm] $a_{n+1}=a_n^2+\frac{1}{5}$
[/mm]
kannst Du dann unter Beachtung von [mm] $\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=a=\lim_{n \to \infty}a_n$ [/mm] eine Gleichung für $a$ aufstellen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 So 13.04.2008 | | Autor: | pete06 |
Schönen Dank Marcel,
dass muss ich mir in Ruhe durch den Kopf gehen lassen.
Warum "Forum Klasse (1-4)" - hatte das direkt nach dem posten bemerkt und keine Möglichkeit gefunden, meinen Artikel wieder zu löschen, bzw. zu verschieben - Sorry, mia culpa!
Klaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 So 13.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Schönen Dank Marcel,
> dass muss ich mir in Ruhe durch den Kopf gehen lassen.
> Warum "Forum Klasse (1-4)" - hatte das direkt nach dem
> posten bemerkt und keine Möglichkeit gefunden, meinen
> Artikel wieder zu löschen, bzw. zu verschieben - Sorry, mia
> culpa!
> Klaus
ich habe den Beitrag editiert (ich muss den Tipp korrigieren, irgendwo hab' ich da [mm] $\le$ [/mm] und [mm] $\ge$ [/mm] auf meinem Blatt Papier durcheinandergebracht). Ich schreib' gleich nochmal was dazu.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 So 13.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
der Tipp in einer korrigierten Fassung:
Zunächst wollen wir zeigen, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] monoton wachsend ist.
Dazu:
[mm] $(\*)$ [/mm] Zeige, dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $x [mm] \le G:=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{10}$ [/mm] gilt, dass
(I) [mm] $x^2-x+\frac{1}{5} \ge [/mm] 0$.
Tipp:
Berechne die Nullstellen [mm] $x_{N_1}$ [/mm] und [mm] $x_{N_2}$ [/mm] von $x [mm] \mapsto x^2-x+\frac{1}{5}$.
[/mm]
O.E. sei [mm] $x_{N_1} \le x_{N_2}$ [/mm] (andernfalls vertausche [mm] $x_{N_1}$ [/mm] und [mm] $x_{N_2}$ [/mm] gegeneinander) und schreibe dann
[mm] $x^2-x+\frac{1}{5}=(x-x_{N_1})*(x-x_{N_2})$
[/mm]
Dann wirst Du [mm] $G=x_{N_1}$ [/mm] erkennen, und für $x [mm] \le x_{N_1}$ [/mm] sind [mm] $(x-x_{N_1})$ [/mm] und [mm] $(x-x_{N_2})$ [/mm] beide [mm] $\le [/mm] 0$, also deren Produkt ist dann also [mm] $\ge [/mm] 0$.
Damit die Idee für Deine Aufgabe:
Wir zeigen zunächst, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] durch $G$ nach oben beschränkt ist.
[mm] $(\*)$ [/mm] (I) hat dann zudem als Konsequenz, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] dann auch monoton wachsend ist.
P.S.:
Allerdings finde ich die Aufgabe alles andere als schön mit dieser Lösung...
Gruß,
Marcel
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