Grenzwert sin 1/x < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Sa 07.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
| Aufgabe | Pruefen Sie die folgenden reellen Funktionen fk auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit (k = 0; 1; 2) in x* = 0.
fk(x) = [mm] x^k [/mm] sin [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für x [mm] \not=0; [/mm]
fk(x) = 0 fuer x = 0: |
Ich hab da zu was im alten Mathebuch gefunden:
Da is das Bsp: f(x)= x [mm] sin\bruch{1}{x} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0, Sonst = 0
x0 = 0.
Da -1 [mm] \le sin\bruch{1}{x} \le [/mm] 1 ist, gilt für x > 0 die Ungleichung -x [mm] \le sin\bruch{1}{x} \le [/mm] x.
Hieraus ergibt sich nach Anwendung des Vergleichs- und Einschatelungssatzes aufgrund der Stetigkeit der Funktiont g(x) = x an der Stelle 0 für den rechtsseitigen Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow 0,n>0}(x sin(\bruch{1}{x}) [/mm] = 0.
Analog erhält man für x < 0 den Linksseitigen Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow 0,n < 0}(x sin(\bruch{1}{x}) [/mm] = 0.
Da rechts- und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen und außerdem f(0) = 0 ist, gilt [mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] f(x)=0=f(0).
f ist also an der Stelle x0 = 0 stetig.
Ist das jetzt das Gleiche wie für meine Aufgabe? Und kann ich das überhaupt alles so schreiben und es ist dann "Uni gerecht". Bin da immer nicht so sicher :(.
Danke schonmal.
Yumi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Pruefen Sie die folgenden reellen Funktionen fk auf
> Stetigkeit und Differenzierbarkeit (k = 0; 1; 2) in x* =
> 0.
> fk(x) = [mm]x^k[/mm] sin [mm]\bruch{1}{x}[/mm] für x [mm]\not=0;[/mm]
> fk(x) = 0 fuer x = 0:
> Ich hab da zu was im alten Mathebuch gefunden:
>
> Da is das Bsp: f(x)= x [mm]sin\bruch{1}{x}[/mm] für x [mm]\not=[/mm] 0,
> Sonst = 0
> x0 = 0.
>
> Da -1 [mm]\le sin\bruch{1}{x} \le[/mm] 1 ist, gilt für x > 0 die
> Ungleichung -x [mm]\le sin\bruch{1}{x} \le[/mm] x.
Du meinst sicher $-x [mm] \le [/mm] x [mm] \sin \frac{1}{x} \le [/mm] x$?
Fuer $x [mm] \neq [/mm] 0$ gilt allgemeiner $-|x| [mm] \le [/mm] x [mm] \sin\frac{1}{x} \le [/mm] |x|$. Wenn du dadrauf jetzt [mm] $\lim_{x\to0} \bullet$ [/mm] anwendest (bei der Definition von [mm] $\lim$ [/mm] werden ja Folgen [mm] $x_n \to [/mm] 0$ mit [mm] $x_n \neq [/mm] 0$ betrachtet), folgt [mm] $\lim_{x\to0} [/mm] x [mm] \sin\frac{1}{x} [/mm] = 0$.
> Hieraus ergibt sich nach Anwendung des Vergleichs- und
> Einschatelungssatzes aufgrund der Stetigkeit der Funktiont
> g(x) = x an der Stelle 0 für den rechtsseitigen Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0,n>0}(x sin(\bruch{1}{x})[/mm] = 0.
> Analog erhält man für x < 0 den Linksseitigen Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0,n < 0}(x sin(\bruch{1}{x})[/mm] = 0.
> Da rechts- und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen und
> außerdem f(0) = 0 ist, gilt [mm]\limes_{n\rightarrow 0}[/mm]
> f(x)=0=f(0).
> f ist also an der Stelle x0 = 0 stetig.
So kannst du es natuerlich auch ausdruecken. 
> Ist das jetzt das Gleiche wie für meine Aufgabe? Und kann
Ja, zuminest fuer $k = 1$. Die Faelle $k = 0$ und $k = 2$ musst du separat behandeln, und du musst noch die Differenzierbarkeit im Fall $k = 1$ betrachten.
Die Stetigkeit bei $k = 2$ geht im Prinzip genauso.
Im Fall $k = 0$ ist es nicht stetig, gibt am Besten eine Folge [mm] $x_n \to [/mm] 0$ an mit [mm] $x_n \neq [/mm] 0$ so, dass [mm] $f_0(x_n)$ [/mm] nicht gegen $0 = [mm] f_0(0)$ [/mm] konvergiert.
Hast du schon eine Idee, wie das bei der Differenzierbarkeit aussieht, oder willst du Hinweise haben was rauskommt damit du weisst in welche Richtung du rechnen musst?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Sa 07.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
Ok also das klingt schonmal recht gut. Das mit der Differenzierbarkeit muss ich noch schauen. Denke das kriege ich hin. Ich schreib einfach nochmal. Ich hab ein anderes größeres Problem. Ich verstehe nicht so ganz was das bedeutet ich soll mir eine Folge nehmen/ suchen. Ich meine ich habe eine Funktion und soll einen Grenzwert bestimmen ja? Also kann ich doch einfach Zahlen die gegen x0 gehen also im Falle und unendlich halt seeehhhrr große Zahlen einsetzen. Usw. Aber eine Folge suchen und einsetzen? Das Verstehe ich nicht so ganz. Ich hab ja schon erwähnt das ich hinterherhinke also entschuldige bitte die dumme Frage :(. Eine Folge ist doch eine aneinanderreihung von Zahlen also 1,2,3,4,5,6,7,.... :(( *verzweifel*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Ok also das klingt schonmal recht gut. Das mit der
> Differenzierbarkeit muss ich noch schauen. Denke das kriege
> ich hin. Ich schreib einfach nochmal. Ich hab ein anderes
> größeres Problem. Ich verstehe nicht so ganz was das
> bedeutet ich soll mir eine Folge nehmen/ suchen. Ich meine
> ich habe eine Funktion und soll einen Grenzwert bestimmen
> ja? Also kann ich doch einfach Zahlen die gegen x0 gehen
> also im Falle und unendlich halt seeehhhrr große Zahlen
> einsetzen. Usw. Aber eine Folge suchen und einsetzen? Das
> Verstehe ich nicht so ganz. Ich hab ja schon erwähnt das
> ich hinterherhinke also entschuldige bitte die dumme Frage
> :(. Eine Folge ist doch eine aneinanderreihung von Zahlen
> also 1,2,3,4,5,6,7,.... :(( *verzweifel*
Also, wenn du eine Folge suchst, um ein Gegenbeispiel zu finden, z.B. dass die Funktion [mm] $\sin\frac{1}{x}$ [/mm] fuer $x [mm] \to [/mm] 0$ einen Grenzwert hat, dann brauchst du zwei Folgen: am besten eine [mm] $x_n$, [/mm] so dass [mm] $\sin \frac{1}{x_n} [/mm] = 1$ ist und eine [mm] $y_n$, [/mm] so dass [mm] $\sin \frac{1}{y_n} [/mm] = -1$ ist. Wann [mm] $\sin [/mm] x = [mm] \pm [/mm] 1$ ist ist dir bekannt oder?
Damit kannst du dann zwei solche Folgen konstruieren. Mal als Beispiel die Folge [mm] $x_n$ [/mm] (die [mm] $y_n$-Folge [/mm] darfst du dann selber machen): Es ist ja [mm] $\sin [/mm] x = 1$ genau dann, wenn $x = [mm] \pi/2 [/mm] + 2 k [mm] \pi$ [/mm] ist mit $k [mm] \in \IZ$. [/mm] Also [mm] $\sin \frac{1}{x} [/mm] = 1$ genau dann, wenn $x = [mm] \frac{1}{\pi/2 + 2 k \pi}$ [/mm] ist. Wenn du jetzt [mm] $x_n [/mm] := [mm] \frac{1}{\pi/2 + 2 n \pi}$ [/mm] setzt, so konvergiert [mm] $x_n$ [/mm] gegen $0$ (da der Nenner beliebig gross wird), und andererseits ist fuer jedes $n$: [mm] $\sin \frac{1}{x_n} [/mm] = [mm] \sin(\pi/2 [/mm] + 2 n [mm] \pi) [/mm] = 1$. Also hast du eine Folge [mm] $x_n, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ und [mm] $f(x_n) \to [/mm] 1$ fuer $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Wenn du allgemein zeigen willst, dass z.B. [mm] $\lim_{x\to0} [/mm] x [mm] \sin \frac{1}{x} [/mm] = 0$ ist, dann musst du alle Folgen [mm] $x_n, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ und [mm] $x_n \neq [/mm] 0$, $n [mm] \in \IN$ [/mm] betrachten. Du 'nimmst' dir eine solche Folge: Du sagst du hast so eine Folge und weisst nichts weiteres ueber sie als [mm] $x_n \to [/mm] 0$ und [mm] $x_n \neq [/mm] 0$! Wenn du nun die Ungleichung $-|x| [mm] \le [/mm] x [mm] \sin \frac{1}{x} \le [/mm] |x|$ betrachtest und $x = [mm] x_n$ [/mm] einsetzt, erhaelst du [mm] $-|x_n| \le x_n \sin \frac{1}{x_n} \le |x_n|$. [/mm] Nun gilt [mm] $-|x_n| \to [/mm] 0$, [mm] $|x_n| \to [/mm] 0$ fuer $n [mm] \to \infty$, [/mm] also (nach dem Einschachtelungskriterium) auch [mm] $x_n \sin\frac{1}{x_n} \to [/mm] 0$ fuer $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Du hast also gezeigt: Ist [mm] $x_n, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] eine beliebige Folge mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ und [mm] $x_n \neq [/mm] 0$, so gilt [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n \sin \frac{1}{x_n} [/mm] = 0$. Damit ist per Definition [mm] $\lim_{x\to0} [/mm] x [mm] \sin \frac{1}{x} [/mm] = 0$.
Hilft dir das ein wenig?
LG Felix
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