Grenzwert sin(x)^{tan(x)} < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie folgenden Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow 0} sin(x)^{tan(x)} [/mm] |
Hallo,
also ich habe das ganze umgeformt zu [mm] e^{tan(x) * ln(sin(x)} [/mm] und betrachte dann nur noch den Exponenten. tan(x) * ln(sin(x)) bzw. [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x) * ln(sin(x))}{cos(x)} [/mm] , leider weiß ich jetzt nicht mehr weiter. L 'Hopital kann ich ja leider nicht anwenden, da cos(0) = 1 und eine Umstellung, in Reihenform z.B., gelingt mir auch nicht so recht. Außerdem ist x [mm] \in \IR [/mm] und deshalb kommen die komplexen Darstellung mit [mm] e^{xi} [/mm] nicht in Frage. Ich hab jetzt diverse Umformungen von sin(x) cos(x) und tan(x) versucht, komme aber immer wieder am Anfang raus. :( Welchen Weg könnte ich noch einschlagen um das ganze geschickt umzuformen ?
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> Berechnen Sie folgenden Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow 0} sin(x)^{tan(x)}[/mm]
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> Hallo,
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> also ich habe das ganze umgeformt zu [mm]e^{tan(x) * ln(sin(x)}[/mm]
> und betrachte dann nur noch den Exponenten. tan(x) *
> ln(sin(x)) bzw. [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x) * ln(sin(x))}{cos(x)}[/mm]
> , leider weiß ich jetzt nicht mehr weiter. L 'Hopital kann
> ich ja leider nicht anwenden, da cos(0) = 1 und eine
> Umstellung, in Reihenform z.B., gelingt mir auch nicht so
> recht. Außerdem ist x [mm]\in \IR[/mm] und deshalb kommen die
> komplexen Darstellung mit [mm]e^{xi}[/mm] nicht in Frage. Ich hab
> jetzt diverse Umformungen von sin(x) cos(x) und tan(x)
> versucht, komme aber immer wieder am Anfang raus. :(
> Welchen Weg könnte ich noch einschlagen um das ganze
> geschickt umzuformen ?
Hallo MarvinTheMartian,
mein Vorschlag wäre, zu beachten, dass die Taylorreihen
für sin x und für tan x beide mit dem Glied x beginnen.
Darum müsste der gesuchte Grenzwert mit dem Grenzwert
[mm] \limes_{x \rightarrow\ 0} \quad x^x [/mm]
übereinstimmen.
Nun ist der rechtsseitige Grenzwert
[mm] \limes_{x \downarrow\ 0} \quad x^x [/mm] = 1 .
Der linksseitige Grenzwert
[mm] \limes_{x \uparrow\ 0} \quad x^x [/mm]
existiert aber nicht, da [mm] x^x [/mm] für negatives x im allgemeinen
nicht definiert ist. Also existieren auch die Grenzwerte
[mm]\limes_{ x\rightarrow 0}\quad x^{ x}[/mm] und [mm]\limes_{ x\rightarrow 0}\quad sin(x)^{tan(x)}[/mm] nicht.
Möglicherweise war aber nur der rechtsseitige Grenzwert
gemeint?
lg al-Chwarizmi
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Noch eine Bemerkung:
ich bin davon ausgegangen, dass der Grenzwert in der
Grundmenge [mm] \IR [/mm] gesucht war. Dann existiert nur der
rechtsseitige Grenzwert, wie ich erläutert habe.
Falls die Aufgabe aber in der Grundmenge [mm] \IC [/mm] spielt,
dann ist die Situation eine andere. Die Potenzen [mm] z^z
[/mm]
sind dann für z [mm] \not= [/mm] 0 stets definiert, und es gilt
[mm] \limes_{z\rightarrow\ 0} \quad z^z [/mm] = 1
sowie [mm] \limes_{z\rightarrow\ 0} \quad sin(z)^{tan(z)} = 1 [/mm]
(wenigstens ist das die Antwort, die Mathematica liefert...)
Al-Ch.
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