Grenzwert über Riem. Summe < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie den folgenden Grenzwert mit Hilfe Riemannscher Summe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{k}{n})^{\bruch{1}{n}} [/mm] |
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher mit meiner Lösung und daher wäre es sehr nett, wenn jmd auf möglichen Unfug hinweisen könnte :).
Erst muss ich das Produkt in ne Summe umformen, das habe ich mittels ln versucht:
Also, sei: [mm] Pn:=\produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{k}{n})^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ln(Pn) = [mm] ln(\produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{k}{n})^{\bruch{1}{n}})
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} ln((1+\bruch{k}{n})^{\bruch{1}{n}})
[/mm]
= 1/n * [mm] \summe_{k=1}^{n} ln(1+\bruch{k}{n})
[/mm]
Ich weiss nun also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ln(Pn) = [mm] \integral_{0}^{1}{ln(x+1) dx}
[/mm]
Das krieg ich mittel partieller Integration zu:
[x*ln(x+1)] - [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x}{x+1} dx}
[/mm]
= [x*ln(x+1)] - [mm] \integral_{0}^{1}{1 dx} [/mm] + x*ln(x+1)] - [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x+1} dx}
[/mm]
= [x*ln(x+1)] - [x] - [ln(x+1)]
mit Grenzen 0 und 1 er gibt das:
2ln(2) - 1 und somit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Pn = [mm] e^{2ln(2)-1} [/mm] = 4/e.
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Der Weg stimmt, das Ergebnis auch. Zwischendrin gibt es aber ein kleines Durcheinander mit den Vorzeichen, und du vermischst auch bestimmte und unbestimmte Integrale. Entweder das eine oder das andere. Wie du dann mit den falschen Vorzeichen auf das richtige Ergebnis kommst, weiß ich nicht.
Für die partielle Integration nimmt man beim Integrieren der Konstanten 1 statt x besser x+1. Das geht schneller.
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