Grenzwert von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mi 17.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Und es geht schon wieder um Folgen, dieses Thema ist mir wirklich noch nicht geheuer.
Es geht darum zu zeigen, dass [mm] \bruch{a_n}{a_{n-1}} [/mm] gegen den goldenen Schnitt konvergiert. Den ich [mm] \partial [/mm] nennen werde.
Wobei [mm] a_n [/mm] die Folge der Fibonacci Zahlen ist.
Ich habe mir eine andere Folge [mm] b_n [/mm] definiert und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
[mm] b_n [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{b_{n-1}}.
[/mm]
Jetzt muss ich mir doch folgendes anschauen:
[mm] |\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] - [mm] b_n|
[/mm]
oder
[mm] |b_n [/mm] - [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}|
[/mm]
Hier ist mal ein Ansatz:
[mm] |\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] - [mm] b_n|
[/mm]
= [mm] |\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] - (1 + [mm] \bruch{1}{b_{n-1}})|
[/mm]
= [mm] |\bruch{1}{\partial} [/mm] - [mm] \bruch{1}{b_{n-1}}|
[/mm]
Weiß erstens nicht ob das stimmt, zweitens leider auch nicht wie mir das hilft =/
Hat jemand einen Tipp für mich?
Bedanke mich im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mi 17.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. was ist das ürsprüngliche [mm] a_n
[/mm]
2.musst du wohl Beschränktheit und Monotonie von [mm] b_n [/mm] zeigen, dass der GW dann konvergiert es gegen dein /delta+1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mi 17.11.2010 | | Autor: | hilbert |
[mm] a_n [/mm] ist die Folge der Fibonacci Zahlen.
Also [mm] a_0 [/mm] = 1
[mm] a_1 [/mm] = 1
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] a_{n-1}.
[/mm]
Monotonie haben wir noch nicht gehabt =/.
Gibt keinen Weg der über Abschätzen funktioniert?
Was ich noch weiß ist, dass [mm] a_n \le (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm] ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Mi 17.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da du ja nur ne Rekursionsformel hast,kannst du nicht abschätzen, dazu brauchtest du ne explizite Formel
du hast ja schon ne obere Schranke für deine [mm] b_n [/mm]
wenn du nun zeigst dass [mm] b_n [/mm] wachsend ist, also [mm] b_{n+1}\ge b_n [/mm] ist, und nach oben beschränkt, dann muss es konvergieren. (wachsend ist hier dasselbe wie monoton wachsend, weil jedes folgende größer ist als das davor.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mi 17.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Okay, das verstehe ich.
Und wieso muss es dann der Goldene Schnitt sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mi 17.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke du willst zeigen, dass b-n-1 der g.s. ist. wenn die rekursion konvergiert, dann ist lim [mm] b_n=lim b_{n+1}=b
[/mm]
und du hast b=1+1/b
und aus deinem [mm] b_n-1 [/mm] hast du ja den GW der ursprünglich gesucht war, den goldenen Schnitt.
Gruss leduart
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