Grenzwert von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 So 15.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie,dass die Folge [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] konvergiert,indem Sie zeigen,dass sie nach unten beschränkt und monoton fallend ist und berechnen Sie den Grenzwert der Folge. |
Hallo^^
Ich habe die Aufgabe gemacht. Es wäre lieb,wenn mir jemand sagen könnte, ob das so richtig ist.
Zuerst der Grenzwert. Es ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^{n+1}=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^{n}*\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})=e*1=e. [/mm] Der Grenzwert ist also e.
Wenn ich den Grenzwert berechnet habe,habe ich doch auch automatisch gezeigt,dass die Folge beschränkt ist, indem ich den Grenzwert als untere Schranke nehme. Dann muss ich die Beschränktheit doch nicht separat nachweisen oder?
Und die Monotonie zeige ich durch vollständige Induktion:
zz: [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1} \ge (1+\bruch{1}{n+1})^{n+2}.
[/mm]
IA: n=1: 4 > 3.375.
IV: n [mm] \to [/mm] n+1
IS: zz: [mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+2} \ge (1+\bruch{1}{n+2})^{n+3}
[/mm]
Das kann ich aufteilen
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}*(1+\bruch{1}{n}) \ge (1+\bruch{1}{n+2})^{n+1}*(1+\bruch{1}{n+2})^{2}.
[/mm]
Es ist [mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] < [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] und [mm] (1+\bruch{1}{n+2})^{n+1} [/mm] < [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1}.
[/mm]
Außerdem ist [mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{2} [/mm] < [mm] (1+\bruch{1}{n}).
[/mm]
Damit gilt die zu zeigende Gleichung.
Ich bin etwas unsicher ob ich diese Abschätzungen so machen darf.
Stimmt das so?
Vielen Dank
lg
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> Zeigen Sie,dass die Folge [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1}[/mm]
> konvergiert,indem Sie zeigen,dass sie nach unten
> beschränkt und monoton fallend ist und berechnen Sie den
> Grenzwert der Folge.
> Hallo^^
Hey Mandy ich mache die gleiche Aufgabe
> Ich habe die Aufgabe gemacht. Es wäre lieb,wenn mir jemand
> sagen könnte, ob das so richtig ist.
>
> Zuerst der Grenzwert. Es ist
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^{n+1}=[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^{n}*\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})=e*1=e.[/mm]
> Der Grenzwert ist also e.
>
> Wenn ich den Grenzwert berechnet habe,habe ich doch auch
> automatisch gezeigt,dass die Folge beschränkt ist, indem
> ich den Grenzwert als untere Schranke nehme. Dann muss ich
> die Beschränktheit doch nicht separat nachweisen oder?
Doch du musst sie nachweisen weil sonst kannst du überhaupt nichts über den Grenzwert aussagen du weisst nicht mal ob die Folge überhaupt konvergiert . Sie konvergiert nur genau dann wenn die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist dies musst du erst zeigen und dann deinen Grenzwert berechnen
> Und die Monotonie zeige ich durch vollständige Induktion:
>
> zz: [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1} \ge (1+\bruch{1}{n+1})^{n+2}.[/mm]
>
> IA: n=1: 4 > 3.375.
>
> IV: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> IS: zz: [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n+2} \ge (1+\bruch{1}{n+2})^{n+3}[/mm]
>
> Das kann ich aufteilen
>
> [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}*(1+\bruch{1}{n}) \ge (1+\bruch{1}{n+2})^{n+1}*(1+\bruch{1}{n+2})^{2}.[/mm]
>
> Es ist [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}[/mm] < [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1}[/mm]
> und [mm](1+\bruch{1}{n+2})^{n+1}[/mm] < [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1}.[/mm]
>
> Außerdem ist [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{2}[/mm] < [mm](1+\bruch{1}{n}).[/mm]
Dies seh ich noch nicht auf Anhieb, dass heisst jedoch nicht dass es falsch ist ;)
> Damit gilt die zu zeigende Gleichung.
>
> Ich bin etwas unsicher ob ich diese Abschätzungen so
> machen darf.
> Stimmt das so?
>
> Vielen Dank
> lg
Hoffe ich konnte dir soweit helfen
lg
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:39 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Lenzo |
> >
> > zz: [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1} \ge (1+\bruch{1}{n+1})^{n+2}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> > IA: n=1: 4 > 3.375.
> >
> > IV: n [mm]\to[/mm] n+1
> >
> > IS: zz: [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n+2} \ge (1+\bruch{1}{n+2})^{n+3}[/mm]
> >
> > Das kann ich aufteilen
> >
> > [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}*(1+\bruch{1}{n}) \ge (1+\bruch{1}{n+2})^{n+1}*(1+\bruch{1}{n+2})^{2}.[/mm]
in der zweiten Klammer muss auch n+1 stehen
>
> >
> > Es ist [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}[/mm] < [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1}[/mm]
> > und [mm](1+\bruch{1}{n+2})^{n+1}[/mm] < [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1}.[/mm]
> >
> > Außerdem ist [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{2}[/mm] < [mm](1+\bruch{1}{n}).[/mm]
> Dies seh ich noch nicht auf Anhieb, dass heisst jedoch
> nicht dass es falsch ist ;)
leider doch! setzt doch einfach mal n=1 ein...2,25 < 2 ???
Ansonsten weiter; müsste mit Induktion klappen.
Hast du denn schon Bernoulli zur Hilfe genommen?
Schöne Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hey eddiebingel und Lenzo,
Ich hab die Monotonie nochmal gemacht, hab es diesmal mit Bernoulli gemacht und es hat geklappt. Das mit der Induktion habe ich dann gelassen.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Lenzo |
Das ist schön. Also mit Benroulli OHNE Induktion? Ich glaube, jetzt kannst du mir auf die Sprünge helfen...
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Hallo,
ich glaube, dir ist hier noch so einiges unklar, sowohl was diese Aufgabe betrifft, als auch generell rund um das Gebiet Folgenkonvergenz.
Wenn eine Folge beschränkt und monoton ist, dann ist sie konvergent. Die Rückrichtung gilt aber nicht!
Die vorliegende Aufgabe dient dem Zweck, die Existenz der Zahl e nachzuweisen. Dabei werden mit
[mm]e_n=(1+\frac{1}{n})^{n}[/mm] und
[mm]f_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}[/mm]
zwei Folgen bezeichnet, für die sich folgende Eigenschaften nachweisen lassen:
- [mm] e_n [/mm] ist streng monoton wachsend
- [mm] f_n [/mm] ist streng monoton fallend
- [mm] e_n [/mm] ist durch [mm] f_n [/mm] nach oben bzw. [mm] f_n [/mm] durch [mm] e_n [/mm] nach unten beschränkt
[mm] -\limes_{n\rightarrow\infty}e_n=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n=e
[/mm]
Insofern ist deine Vorgehensweise zur Ermittlung des Grenzwerts der Folge [mm] f_n [/mm] im Themenstart zwar nicht prinzipiell falsch, aber du setzt voraus, dass die Zahl e schon definiert ist, was an dieser Stelle gewöhnlich nicht der Fall ist.
Um nun nachzuweisen, dass [mm] f_n [/mm] streng monoton fallend ist untersuche den Quotienten
[mm] \frac{f_{n+1}}{f_n}
[/mm]
Du musst zeigen, dass er kleiner Eins ist und dabei benötigt man an einer Stelle die Bernoullische Ungleichung.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 Do 19.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
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> Das ist schön. Also mit Benroulli OHNE Induktion? Ich
> glaube, jetzt kannst du mir auf die Sprünge helfen...
>
Ja, ohne Induktion. Schau dir mal den Beweis von Satz 16 an. Das geht analog.
lg
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Hallo,
deine Vorgehensweise ist nicht korrekt. Man benötigt an Stelle deiner Abschätzungen (die zwar allesamt für sich richtig sind aber falsch angewendet) die Bernoullische Ungleichung. Mehr dazu habe ich weiter unten auf die Frage von Lenzo geschrieben.
Gruß, Diophant
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