Grenzwert von Folgen- Rechenre < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für eine Folge X(n)(n=1,2..) gelte : x²(1) >a>0 und X(n+1)= 0,5 * (x(n) + a/x(n) ) ..
zeigen sie dass x²(n) >a für n = 1,2...
Zeigen Sie dass die Folge monotn fallend ist. Bestimmen sie den Grenzwert dieser Folge.. |
Hallo,
ich befinde mich im ersten Semster meies Bio-Chemie studiums und bin mit dem Mathematikmodul ein wenig überfordert. Hab die Frage mal hier rein gestellt, da das wohl eher passt als zu Hochschulmathe^^
Ich weiß zwar über Grenzwerte weitesgehend bescheid, aber was der Prof. da vorne macht ist mir ein Rätsel.
Grenzwerte von Folgen ist das Thema. Ich wurde mit diesen Folgen während meines Abiturs nur sporadisch konfrontiert.
Grenzwerte waren insofern Teil des Ganzen, dass diese aus Funktionsthermen abzuleiten oder gegebenfalls durch Thermumformungen zu berechnen waren.
Jetzt kam heut die Vorlesung Grenzwerte von Folgen. Als erstes verstehe ich überhaupt nicht, wie ich einen solchen Grenzwert anhand einer rekursiven Bildungsvorschrift berechne. Dann sind mir Rechenregeln zu den Grenzwerten ein Rätsel. Sie beziehen sich immer auf 2 Folgen. Warum soll ich aus 2 Folgen einen Grenzwert ermitteln? Ich verstehe wirklich nicht was das alles soll, und alles googlen und alles wikipediagucken hat mir kaum was genützt. Steh ich nur aufm Schlauch oder is das wirklich so furchtbar? Ich wäre dankbar wenn jemand etwas Licht ins Dunkel bringen könnte :)
Hab oben noch ne Aufgabe eingetippt, wo mir ebenso gänzlich der Ansatz fehlt. Weiß damit nichts anzufangen, und das frustriet mich dementsprechend. Hatte eigetl. nie Probleme in Mathe, aber das macht mich kirre. Bitte um Beistand:)
Danke schonmal für die Hilfe.
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo cardmechanic,
> Für eine Folge X(n)(n=1,2..) gelte : x²(1) >a>0 und
> X(n+1)= 0,5 * (x(n) + a/x(n) ) ..
>
> zeigen sie dass x²(n) >a für n = 1,2...
> Zeigen Sie dass die Folge monotn fallend ist. Bestimmen
> sie den Grenzwert dieser Folge..
> Hallo,
>
> ich befinde mich im ersten Semster meies Bio-Chemie
> studiums und bin mit dem Mathematikmodul ein wenig
> überfordert. Hab die Frage mal hier rein gestellt, da das
> wohl eher passt als zu Hochschulmathe^^
das passt auch zur Hochschulmathe, Analysis, 1. Semester normalerweise!
> Ich weiß zwar über Grenzwerte weitesgehend bescheid,
Was weißt Du denn von Grenzwerten? Habt Ihr ein Skript? Denn momentan
kann ich Dir nur antworten, indem ich mich auf ein anderes, aber meiner
Meinung nach sehr gutes Skript, beziehe. Denn wo sollen wir anfangen, Dir
die Theorie zu erklären? Bei der Definition der Konvergenz?
Damit Du wirklich Bescheid weißt, könntest Du
![[]](/images/popup.gif) Kapitel 5 (klick me!)
durcharbeiten. Du wirst da vielleicht nicht jedes Argument verstehen, aber
wir haben dann wenigstens eine gemeinsame Basis, auf der wir unsere
Argumente fußen können!
> aber was der Prof. da vorne macht ist mir ein Rätsel.
Mir auch - was daran liegt, dass ich es nicht sehe und nicht in Deiner
Vorlesung sitze - ja, noch nicht mal weiß, welche Vorlesung Du meinst.
Falls der Prof. ein Skript verlinkt hat, schick' den Link. Andernfalls musst
Du Dein Skript durcharbeiten und schlimmstenfalls hier alles fragen, was
Dir unklar ist (ggf. durch mehrere Fragen)!
> Grenzwerte von Folgen ist das Thema. Ich wurde mit diesen
> Folgen während meines Abiturs nur sporadisch konfrontiert.
> Grenzwerte waren insofern Teil des Ganzen, dass diese aus
> Funktionsthermen abzuleiten oder gegebenfalls durch
> Thermumformungen zu berechnen waren.
> Jetzt kam heut die Vorlesung Grenzwerte von Folgen. Als
> erstes verstehe ich überhaupt nicht, wie ich einen solchen
> Grenzwert anhand einer rekursiven Bildungsvorschrift
> berechne.
Allgemein läßt sich das auch nicht immer sagen, weil man vor allem
erstmal sicherstellen muß, dass die rekursiv definierte Folge auch
konvergent ist. Dafür gibt's mehrere Ansätze:
- Hauptsatz über monotone Folgen (das ist ein HINREICHENDES(!) Kriterium für Konvergenz)
- Folgen in [mm] $\IR$ [/mm] konvergieren genau dann, wenn sie Cauchyfolgen sind
(sowas kann helfen, wenn man die Cauchyfolgeneigenschaft nachrechnen
kann)
- ...
- ...
- ...
Was man aber meist machen kann, ist eine kleine Methode, um etwas über
den Grenzwert sagen zu können - falls er denn existiert, also zur
Formulierung einer Aussage wie folgt: "Wenn die hier stehende rekursiv
definierte Folge [mm] $(x(n))_n$ [/mm] konvergiert, dann kommen nur folgende Werte
für den Grenzwert in Frage..."
Für eine solche Erkenntnis benutzt man folgendes: Weil, wenn [mm] $(x(n))_n$ [/mm]
gegen [mm] $x\,$ [/mm] konvergiert, dann auch [mm] $(x(n+m))_n$ [/mm] für jeden Parameter $m [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Beispielhaft wird das unten an der obigen speziellen Aufgabe demonstriert!
> Dann sind mir Rechenregeln zu den Grenzwerten
> ein Rätsel. Sie beziehen sich immer auf 2 Folgen. Warum
> soll ich aus 2 Folgen einen Grenzwert ermitteln?
Da geht's sicher eher um sowas wie in obigem Skript in Satz 5.5.
> Ich
> verstehe wirklich nicht was das alles soll, und alles
> googlen und alles wikipediagucken hat mir kaum was
> genützt. Steh ich nur aufm Schlauch oder is das wirklich
> so furchtbar? Ich wäre dankbar wenn jemand etwas Licht ins
> Dunkel bringen könnte :)
> Hab oben noch ne Aufgabe eingetippt, wo mir ebenso
> gänzlich der Ansatz fehlt. Weiß damit nichts anzufangen,
> und das frustriet mich dementsprechend. Hatte eigetl. nie
> Probleme in Mathe, aber das macht mich kirre. Bitte um
> Beistand:)
>
> Danke schonmal für die Hilfe.
>
> LG
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
So, aber gucken wir mal, wie wir Dir hier mal bei obiger Aufgabe helfen
können:
Um [mm] $x^2(n) [/mm] > [mm] a\,$ [/mm] für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 1$ zu zeigen, kannst Du ja
mal vollständige Induktion versuchen. Das ist auch gut, wenn das gelingt,
denn da wir bei der rekursiven Definition durch $x(n)$ teilen, wäre es doch
toll, zu wissen, dass $x(n)=0$ niemals gelten kann.
Und zur Induktion:
Die ist nun nicht schwer, denn der Induktionsstart wird nach
Voraussetzung gelingen und im I.S. folgt
[mm] $$x^2(n+1)=\frac{1}{4}\left(x(n)+\frac a {x(n)}\right)^2$$
[/mm]
Wenn Du das nun durchrechnest, wird es ein wenig trickreich. Am besten
machst Du Dir zwischendurch klar, was Du willst:
Weil Du gerne [mm] $4x^2(n+1) [/mm] > 4a$ haben willst, muss man irgendwie so lange
rumrechnen, bis man begründen kann, warum
[mm] $$\left(x(n)+\frac a {x(n)}\right)^2 [/mm] > 4a$$
gilt. Rechne mal ein bisschen rum (äquivalent umformen!), bis Du am Ende
irgendwann eine zweite binomische Formel siehst, mit der man dann zum
Ziel kommt!
Jetzt nehmen wir erstmal an, dass die Folge immer nur Werte [mm] $\ge [/mm] 0$ - und
damit wegen der obenstehenden Ungleichung sogar nur Werte $> [mm] 0\,$ [/mm] -
annimmt. (Dass da oben in der Aufgabe etwas fehlt, das werde ich gleich
noch begründen!
Siehe unten!)
Für die Monotonie kann man nun nachrechnen, dass dann
[mm] $$\frac{x(n+1)}{x(n)} <\,\text{?}$$
[/mm]
(na, was steht auf der rechten Seite anstelle des Fragezeichens [mm] $\text{?}$), [/mm] und
zwar für alle $n [mm] \in \IN,$ [/mm] gilt. Dafür braucht man vielleicht das
vorangegangene Ergebnis.
Sollte obiges nicht gelingen, kann man analog versuchen, für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm]
die Ungleichung
$$x(n)-x(n+1) > [mm] \;\text{??}$$
[/mm]
(na, was sollte da wohl für [mm] $\text{??}$ [/mm] stehen) nachrechnen.
Wenn das nun gelingt/gelungen ist, dann weiß man, dass [mm] $(x(n))_n$ [/mm] eine
nach unten beschränkte monoton fallende Folge ist. Nach dem Hauptsatz
über monotone Folgen (im Skript Satz 5.12) konvergiert daher diese Folge,
und zwar gegen einen und nur einen Wert $x [mm] \in \IR$ [/mm] (Grenzwerte in
[mm] $\IR$ [/mm] sind eindeutig - merke Dir vll. mal, dass Grenzwerte generell in
metrischen Räumen eindeutig sind).
Und wenn nun $x(n) [mm] \to x\,,$ [/mm] dann muss (s.o.) auch $x(n+1) [mm] \to [/mm] x$ folgen (alles bei $n [mm] \to \infty$), [/mm] weil Grenzwerte eindeutig sind - grob kannst Du
Dir das hier gesagte so 'vorstellen/merken':
Wenn [mm] $(x(n))_n$ [/mm] ab einem gewissen [mm] $n_0$ [/mm] immer "genügend nahe" an
[mm] $x\,$ [/mm] liegt, dann wird [mm] $(x(n+1))_n$ [/mm] "ja noch früher diese Eigenschaft
haben", nämlich ab [mm] $n_0-1\,.$ [/mm] (Formal ist das quasi genau so trivial
hinzuschreiben!)
Wir wissen nun: $x(n) [mm] \to [/mm] x$ und $x(n+1) [mm] \to x\,,$ [/mm] also folgt aus
[mm] $$x(n+1)=\frac{1}{2}\left(x(n)+\frac{a}{x(n)}\right)$$
[/mm]
dann bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
[mm] $$x=\frac{1}{2}\left(x+\frac a x\right)\,.$$
[/mm]
Versuch' mal, diese Gleichung nach [mm] $x\,$ [/mm] aufzulösen.
Und jetzt noch eines, siehe oben:
Ich denke, dass da in der Aufgabe noch fehlt, dass $x(1) [mm] \ge [/mm] 0$ und [mm] $x(1)^2 [/mm] > [mm] a\,$ [/mm] gelten soll. Denn andernfalls bekommt man bei der Aufgabe
hier gewisse Probleme - einmal mit der Monotonie, sofern man sie nicht nur
stückweise verlangt, was vll. bei manchen Fällen helfen KÖNNTE
(nachgerechnet habe ich das nicht!), und in manchen Fällen vielleicht
tatsächlich sogar bei der Behauptung, dass die Folge konvergiert - jedenfalls denke ich das, auch, wenn ich das nun nicht komplett
durchdacht habe.
Aber dass man sicher schon Probleme mit der Monotonie bekommt, kann
man leicht einsehen, wenn denn hier alles unter diesen Voraussetzungen
stimmen würde:
Wäre [mm] $(x(n))_n$ [/mm] stets monoton fallend wäre und $x(1) < [mm] -\sqrt{a}\,,$ [/mm]
dann wäre [mm] $x^2(1) [/mm] > [mm] a\,,$ [/mm] und wegen $x(1) < [mm] -\sqrt{a}$ [/mm] und $x(n+1) < x(n)$
für alle [mm] $n\,$ [/mm] könnte [mm] $(x(n))_n$ [/mm] nicht mehr konvergieren. Letzteres
erkennst Du, wenn Du
[mm] $$x=1/2\;(x+a/x)$$
[/mm]
nach [mm] $x\,$ [/mm] auflöst!
P.S.
Die Aufgabe findest Du übrigens auch, mit anderen Bezeichnung, und
"richtigen Voraussetzungen", also solche, für die sich auch die hier
genannten Behauptungen alle zeigen lassen, in obigem Skript.
(Bei der obigen Aufgabe könnte man etwa einfach verlangen, dass
$x(1) > [mm] \sqrt{a}$ [/mm] sein solle!) Man nennt das ganze hier "Babylonisches Wurzelziehen!"
P.P.S.
Deine Aufgaben:
Nimm' hier definitiv erstmal an, dass der Prof. vergessen hatte, in der
Aufgabe auch $x(1) > [mm] \sqrt{a}$ [/mm] zu fordern.
Damit (an den Stellen, wo man das vielleicht verwenden sollte!) rechne
dann nach
- obige Induktion
- dass die Folge $(x(n))$ wirklich auch streng fallend sein muss
Satz 5.12 liefert dann die Konvergenz, und wie oben stehend erhältst Du
eine Gleichung für den Grenzwert [mm] $x\,$ [/mm] der Folge, der auch von [mm] $a\,$ [/mm]
abhängen wird. Diese Gleichung für den Grenzwert, die dann entsteht, ist
eine einfache quadratische Gleichung. Und wenn man jetzt, wie hier auch
aus der Zusatzvoraussetzung $x(1) > [mm] \sqrt{a}$ [/mm] entnimmt, alle [mm] $x(n)\,$
[/mm]
(wenigstens ab einem gewissen Index) immer das gleiche Vorzeichen
haben, dann muss der Grenzwert [mm] $x\,,$ [/mm] wenn die Folge [mm] $(x(n))_n$ [/mm] - wie
hier - konvergiert, auch das "dazu passende" Vorzeichen haben!
(Das kannst Du ja mal versuchen, Dir am Zahlenstrahl klarzumachen. Wenn
Bedarf besteht, kann ich Dir das auch formal beweisen, oder Du probierst
selbst mal, das zu beweisen!)
Gruß,
Marcel
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Okay, das ist ne Menge Text den ich erstmal durcharbeiten muss. Wollte mich dennoch schonmal für die Menge an Arbeit stecken die hier investiert wurde. Ist ja nicht selbstverständlich so einen Batzen Text hinzulegen. Vielen Dank erstmal, ich arbeite das durch und melde mich dann gegebenfalls nochmal zurück..
Es gibt n Script von meinem Prof, aber ich schau erstmal das hier durch, bevor ich darauf verweise.
Die Vorlesung war btw zum Thema Mathematik für Biologen/Biochemiker/Biostatistik :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, das ist ne Menge Text den ich erstmal durcharbeiten
> muss. Wollte mich dennoch schonmal für die Menge an Arbeit
> stecken die hier investiert wurde.
bedanken meinst Du. Gerne! 
> Ist ja nicht
> selbstverständlich so einen Batzen Text hinzulegen. Vielen
> Dank erstmal, ich arbeite das durch und melde mich dann
> gegebenfalls nochmal zurück..
>
> Es gibt n Script von meinem Prof, aber ich schau erstmal
> das hier durch, bevor ich darauf verweise.
Okay - es ist halt auch nach wie vor die Frage, wie gut/ausführlich ihr das
da besprecht. Also eine Verlinkung dahin ist sinnvoll - sofern diese erlaubt
ist!
> Die Vorlesung war btw zum Thema Mathematik für
> Biologen/Biochemiker/Biostatistik :)
Okay, aber in einer einzigen Vorlesung kann man eigentlich nicht besonders
viel zum Thema Grenzwerte behandeln, wenn man es vernünftig machen
will. Für das Kapitel 5 im Skript würde ich Dir - da Du ja eigentlich Nichtmathematiker bist - mindestens eine Woche geben - bis Du das
Wesentliche oder wenigstens einige "Konzepte" diesbezüglich verstanden
hast.
Wir haben hier aber auch noch so manche Lehrer/innen im Forum. Vielleicht
kann Dir der/die ein/e oder andere gute Links geben, wo entsprechende
Aufgaben auch aufgeführt sind und das ganze ausführlicher so ein
bisschen wie in der Oberstufe (evtl. LK) behandelt wird. Was auch Sinn
machen könnte, wäre es, mal nach gewissen "Einführungen in die
Mathematik"-Skripten/Büchern (Veranstaltungen an Unis) - oder nach
"Mathematik für Naturwissenschaftler" - oder nach Skripten/Büchern
"Mathematik für Ingenieure" oder sowas Ausschau zu behandeln. Da wird
neben der Theorie oft auch alles noch mit einigen Beispielen untermauert.
Aber bzgl. solcher Lehrmaterialien kennen sich meist die Lehrer/innen hier
besser aus.
Gruß,
Marcel
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Ja solle bedanken heißen...ich bin heut inzwischen sehr konfus...
Ich geh davon aus, es ist hier kein größeres Problem wenn ich die Vorlesung einfach mal frei gebe.
http://www.math.uni-leipzig.de/~riedel/biologen/2010_biog_up.pdf (PW: ... wurde entfernt - Mod. Marcel )
Ich hab halt einfach gesagt folgendes Problem..diese ganzen Bezeichnungen a(n) a(n+1) a->C usw...ich hätte einfach gern eine einfahe Erklärung in Worten, was das alles soll...dann kann ich mich auch in die Symbolik etc. reinarbeiten. Aber ich habe im Moment einfach kein Verständnis dafür was das alles soll. ICh kann mit Funktionsthermen umgehen, integrieren, differenzieren, aber was mir diese Zahlenfolgen sagen sollen und was das nützen soll ist mir ein großes Rätsel. Mir fehlt vollkommen der Ansatz was damit nun machen soll. Es war eine einzige Vorlesung und ich komm einfach nicht dahinter. Ich war es bisher immer gewohnt, dass ich mich in Dinge die ich nicht gleich verstehe reinarbeiten kann, aber hier scheitere ich gnadenlos, und das ärgert mich...Ich hab dieses Script heute immer und immer wieder gelesen, aber ich komm nichtmal zu konkreten Fragen, da mir vollkommen der Bezug fehlt, ab der Stelle wo die Regeln von Grenzwerten von Folgen beginnen. Meine bisherige Vorstellung von Grenzwerten, die scheinbar zu einfach gedacht war, war die, dass eine Bildungsvorschrift bzw ein Funktonstherm, für den Fall x-> unendlich gegen einen bestimmten Wert geht(konvergiert), diesen aber nie erreicht. Dies manifestiert sich nun als waagerechte Asymptote(das Wesen senkrechter war mir eigetl. auch soweit bewusst) welche es durch Termumformungen oder logische Überlegungen zu ermitteln gilt. Unendliche(uneigentliche) Integrale kannte ich noch, Das wars...und jetzt kommt dann eben dieser ganze Kram und mir platzt der Kopf...Ich mach 3 Kreuze wenn das dann endlich mal mit richtigen Funktionsthermen losgeht, und diese Zahlenreihen ein Ende haben..aber bis dahin muss ich mich wohl durch dieses Forum heulen, in der Hoffnung auf einen Aha-Effekt ^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:57 Do 18.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja solle bedanken heißen...ich bin heut inzwischen sehr
> konfus...
>
> Ich geh davon aus, es ist hier kein größeres Problem wenn
> ich die Vorlesung einfach mal frei gebe.
> http://www.math.uni-leipzig.de/~riedel/biologen/2010_biog_up.pdf
uh, wenn etwas PW-geschützt ist sollte man aufpassen. Ich habe das PWmal
entfernt. Hier mußt Du wirklich aufpassen und sicherheitshalber beim Prof. nachfragen,
ob er Dir das okay gibt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Do 18.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja solle bedanken heißen...ich bin heut inzwischen sehr
> konfus...
>
> Ich geh davon aus, es ist hier kein größeres Problem wenn
> ich die Vorlesung einfach mal frei gebe.
> http://www.math.uni-leipzig.de/~riedel/biologen/2010_biog_up.pdf
> (PW: ... wurde entfernt - Mod. Marcel )
>
>
> Ich hab halt einfach gesagt folgendes Problem..diese ganzen
> Bezeichnungen a(n) a(n+1) a->C
na, generell kannst Du (im Wesentlichen, auch wenn man bei Folgen den
Definitionsbereich ein wenig "ganzzahlig verschieben" kann) Dir Folgen
also Funktionen
$$a: [mm] \IN \to \IR$$
[/mm]
vorstellen. Das dann [mm] $a(n)\,$ [/mm] (auch geschrieben als [mm] $a_n$) [/mm] der Funktionswert
von [mm] $a\,$ [/mm] an der Stelle $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist, ist klar. [mm] $a(n+1)\,$ [/mm] ist eben
der Funktionswert von [mm] $a\,$ [/mm] - bzgl. $n [mm] \in \IN$ [/mm] - der um 1 weiter rechts liegende Funktionswert. Das ist jetzt eigentlich nichts schweres, oder?
Dass $a(n) [mm] \to [/mm] c$ (bei $n [mm] \to \infty$) [/mm] oder [mm] $a_n \to c\,,$ [/mm] wobei $c [mm] \in \IR\,,$
[/mm]
bedeutet das Folgende:
Stell Dir vor, Du "visualisierst" den Graphen der Funktion [mm] $a\,$ [/mm] im
kartesischen [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Dann hast Du doch nur [mm] "$\IN$-viele" [/mm] Punkte im
[mm] $\IR^2$ [/mm] einzuzeichnen (da das (abzählbar) [mm] $\infty$ [/mm] viele sind, wirst Du
sie eh nie alle zeichnen/plotten... können). Außerdem können wir uns
darauf beschränken, die [mm] $x\,$-Achse [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 0$ nur zu zeichnen.
Nun erklären wir erstmal, was es bedeutet, dass $a(n) [mm] \to c\,,$ [/mm] wenn
$n [mm] \to \infty$:
[/mm]
Dann kann man die Gerade [mm] $y=c\,$ [/mm] (also die parallele zur [mm] $x\,$-Achse)
[/mm]
meinetwegen gestrichelt einzeichnen. Nun muss die folgende Eigenschaft
erfüllt sein:
Egal, welches [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ich mir vorgebe (besonders interessant
sind allerdings "kleine" [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$), wenn ich mir dann um die durch
[mm] $y=c\,$ [/mm] gegebene Gerade die beiden Geraden [mm] $g_+(\varepsilon)$ [/mm] und
[mm] $g_-(\varepsilon)$ [/mm] zeichne,
definiert durch
[mm] $$g_+(\varepsilon): \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=c+\varepsilon$$
[/mm]
und
[mm] $$g_-(\varepsilon): \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=c-\varepsilon\,,$$
[/mm]
(man redet auch "vom [mm] $\varepsilon$-Schlauch [/mm] um [mm] $c\,$" [/mm] - das ist der
Bereich, der "zwischen" diesen beiden Geraden liegt!)
ich werde immer einen Index finden, [mm] $N(\varepsilon)\,,$ [/mm] so dass ich
weiß, dass "ab diesem [mm] $N(\varepsilon)$" [/mm] gilt, dass ab dort der Graph der
geplotteten/skizzierten Funktion [mm] $a\,$ [/mm] die Eigenschaft hat, zwischen den
beiden obigen Geraden [mm] $g_+(\varepsilon)$ [/mm] und [mm] $g_-(\varepsilon)$ [/mm] zu
liegen. (Wenn $n [mm] \ge N(\varepsilon)$ [/mm] für passendes [mm] $N(\varepsilon)\,,$
[/mm]
dann muss [mm] $a(n)\,$ [/mm] "zwischen den beiden obigen Geraden [mm] $g_+(\varepsilon)$ [/mm] und [mm] $g_-(\varepsilon)$" [/mm] liegen!)
Wichtig ist dabei: Das [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] darf "von der [mm] $\varepsilon$-Schlauch-"Breite" $\varepsilon$" [/mm] abhängen. Es kann und
wird i.a. so sein, dass man mit kleinerem [mm] $\varepsilon$ [/mm] "weiter nach
rechts" schauen muss - also ein größeres [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] wie vorher
zu nehmen hat - jedenfalls dann, wenn man das [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] immer
als das kleinste solche [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] mit der obigen Eigenschaft nimmt.
Wichtig ist aber, dass man für jeden [mm] $\varepsilon$-Schlauch ($\varepsilon [/mm] > 0$)
um [mm] $c\,$ [/mm] solch einen Bereich angeben kann. Wenn das mal nicht gelingt,
man also einen kleinen Schlauch um [mm] $c\,$ [/mm] gefunden hat, für den obige
Eigenschaft nicht gilt, weiß man nur, dass [mm] $c\,$ [/mm] nicht der Grenzwert von
[mm] $(a(n))_n$ [/mm] sein kann. Man hat damit noch nicht gezeigt, dass [mm] $(a(n))_n$
[/mm]
divergiert.
Für letzteres müßte man zeigen: Es läßt sich kein [mm] $c\,$ [/mm] so finden, dass ...
was man dann besser so versteht: Für jedes $c [mm] \in \IR$ [/mm] gibt es immer
einen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$-Schlauch [mm] ($\varepsilon [/mm] > 0$ darf von [mm] $c\,$ [/mm]
abhängen), so dass es immer ein $M [mm] \in \IN$ [/mm] so gibt, dass [mm] $a(M)\,$
[/mm]
außerhalb des [mm] $\varepsilon$-Schlauchs [/mm] um [mm] $c\,$ [/mm] liegt.
So, und mal zur Übung:
1. Aufgabe:
Warum gilt für [mm] $a(n):=1+(-1)^n*\frac{1}{n}\,,$ [/mm] dass $a(n) [mm] \to [/mm] 1$?
Warum gilt NICHT $a(n) [mm] \to [/mm] 0.99$?
2. Aufgabe: Wir definieren die [mm] $a(n)\,$ [/mm] wie folgt:
[mm] $$a(n):=\begin{cases} 2+(-1)^n*\frac{7}{n}, & \mbox{für } n \in \IN \text{ und }n \text{ keine Primzahl} \\ 5-\frac{2}{n^2}, & \mbox{für } n \in \IN \mbox{ und }n $\text{Primzahl}$ \end{cases}\,.$$
[/mm]
Ist [mm] $(a(n))_n$ [/mm] konvergent oder divergent? Begründung?
P.S.
Grob gesagt, bedeutet die Konvergenz von [mm] $(a(n))_n$:
[/mm]
Man kann eine durch [mm] $y=c\,$ [/mm] gegebene Gerade (parallel zur [mm] $x\,$-Achse)
[/mm]
so finden, dass man weiß:
Die Punkte, die durch den Graphen von [mm] $a\,$ [/mm] im kartesischen [mm] $\IR^2$
[/mm]
entsprechend visualisiert werden, werden immer näher an dieser durch
[mm] $y=c\,$ [/mm] gegebenen Geraden liegen, je weiter man "nach rechts geht" -
also je größer das Argument wird. Grob gesagt: Die "Punkte von [mm] $a\,$"
[/mm]
sehen die Gerade [mm] $y=c\,$ [/mm] in der Regel immer besser an den Stellen,
wo man große [mm] $n\,$ [/mm] hat - wenn man [mm] $n\,$ [/mm] größer macht, werden sie
irgendwann diese Gerade auch ohne Brille sehen!"
Und nimm' an, alle Punkte gegeben durch die Funktion [mm] $a\,$ [/mm] wären
"gleichermaßen kurzsichtig (aber nie blind! - deswegen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$)":
Wenn sie alle gleichmermaßen kurzsichtiger werden (also immer noch
eine gleiche Kurzsichtigkeit haben, nur eine kleinere), dann weiß ich
wenigstens, dass es auch dann einen "Bereich weiter rechts liegend"
geben wird, ab dem alle diese Punkte die durch [mm] $y=c\,$ [/mm] beschriebene
Gerade doch noch erkennen können.
Gruß,
Marcel
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