Grenzwert von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an alle,
Ich habe eine Lösung für eine Aufgabe forliegen, aus der ich nicht so ganz schlau werde. Gleich mal zur Sache:
[mm] a_n [/mm] := 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Für [mm] a_n [/mm] gilt also die Abschätzung 1 [mm] \le a_n \le [/mm] n .
In meiner Lösung heißt es nun: Wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} [/mm] = 1 folgt mit der Abschätzung das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 1 ist. Leider ist mir hier nicht bekannt welches Kriterium hier verschwiegen wurde bzw. ich übersehen habe, das diese Folgerung erklärt.
Wenn ich nach obigem Schema vorgehe könnte ich ja auch sagen:
[mm] a_n \le [/mm] n [mm] \le 2^n [/mm] n , [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n n}=2 \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} [/mm] = 2. Und dann behaupten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 2.
Also meine Frage: Was habe ich hier übersehen ?
Gruß Christian
PS:Das ist mein erstes Posting in diesem Forum.
Sollte ich gegen bestimmte Regeln hier verstoßen, bitte ich euch mich darauf hinzuweisen, damit ich das nächste mal nicht denselben Fehler mache.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo an alle,
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> Ich habe eine Lösung für eine Aufgabe forliegen, aus der
> ich nicht so ganz schlau werde. Gleich mal zur Sache:
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> [mm]a_n[/mm] := 1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\cdots[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> Für [mm]a_n[/mm] gilt also die Abschätzung 1 [mm]\le a_n \le[/mm] n .
> In meiner Lösung heißt es nun: Wegen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}[/mm] = 1 folgt mit der
> Abschätzung das [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = 1 ist.
> Leider ist mir hier nicht bekannt welches Kriterium hier
> verschwiegen wurde bzw. ich übersehen habe, das diese
> Folgerung erklärt.
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> Wenn ich nach obigem Schema vorgehe könnte ich ja auch
> sagen:
> [mm]a_n \le[/mm] n [mm]\le 2^n[/mm] n , [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n n}=2 \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}[/mm]
> = 2. Und dann behaupten [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] =
> 2.
>
> Also meine Frage: Was habe ich hier übersehen ?
Hallo...
Das soll wirklich in einer Lösung gestanden haben?
Die Zeile [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}=1$ [/mm] ist nämlich purer Schwachsinn!!!
Die Folge [mm] a_n [/mm] konvergiert nicht im geringsten!
Am einfachsten sieht man das mit dem Cauchyschen Verdichungssatz, der da sagt:
Sei [mm] (b_n) [/mm] monoton fallende Folge mit [mm] $b_\ge [/mm] 0$ [mm] $\forall n\in\IN$, [/mm] dann ist
[mm] $\sum_{j=1}^{n}b_j [/mm] )$ konvergent [mm] $\gdw \sum_{j=1}^{n}2^jb_{2^j}$ [/mm] konvergent.
Betrachten wir nun also in unserem Fall, daß [mm] b_n:=\frac{1}{n} [/mm] die Voraussetzungen erfüllt, so haben wir mit [mm] $a_n:=\sum_{j=1}^{n}b_j$:
[/mm]
[mm] $\sum_{j=1}^{n}2^jb_{2^j}=2^n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...\frac{1}{2^n})> 2^n*n*\frac{1}{2^n} [/mm] = n$ gilt, so sehen wir leicht, daß [mm] a_n [/mm] niemals konvergieren kann!
Gruß,
Christian
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Entschuldigt bitte. Ich habe einen Fehler in meinem Posting entdeckt.
Folgendes ist natürlich falsch: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} {a_n} [/mm] = 1
Richtig ist: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} {\wurzel[n]{a_n}} [/mm] = 1
Hier also nochmal die Korrigierte Fragestellung:
Hallo an alle,
Ich habe eine Lösung für eine Aufgabe vorliegen, aus der ich nicht so ganz schlau werde. Gleich mal zur Sache:
[mm] a_n [/mm] := 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Für [mm] a_n [/mm] gilt also die Abschätzung 1 [mm] \le a_n \le [/mm] n .
In meiner Lösung heißt es nun: Wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} [/mm] = 1 folgt mit der Abschätzung das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a_n} [/mm] = 1 ist. Leider ist mir hier nicht bekannt welches Kriterium hier verschwiegen wurde bzw. ich übersehen habe, das diese Folgerung erklärt.
Wenn ich nach obigem Schema vorgehe könnte ich ja auch sagen:
[mm] a_n \le [/mm] n [mm] \le 2^n [/mm] n , [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n n}=2 \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} [/mm] = 2. Und dann behaupten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a_n} [/mm] = 2.
Also meine Frage: Was habe ich hier übersehen ?
Gruß Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 So 31.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christian,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Der Trick bei dieser ganzen Sache ist doch, daß wir die zu untersuchende Folge sowohl nach oben als auch nach unten abschätzen durch Folgen, deren Grenzwerte übereinstimmen (in unserem Fall [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ... \ = \ 1$ ).
Daß gilt $1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_n [/mm] \ := \ 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}$ [/mm] , ist ja offensichtlich, oder?
Die Relation [mm] $a_n [/mm] \ := [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ n$ läßt sich z.B. durch vollständige Induktion ziemlich schnell nachweisen.
Damit haben wir also die o.g. Ungleichheitskette: $1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ n$
Wegen der Stetigkeit sowie strengen Monotonie der n-ten Wurzel [mm] $\wurzel[n]{ ... \ }$ [/mm] gilt dies auch für die daraus folgenden Ungleichheitskette:
[mm] $\wurzel[n]{1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \wurzel[n]{a_n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \wurzel[n]{n}$
[/mm]
Nun führen wir die Grenzwertbetrachtung durch für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] :
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}$
[/mm]
Außerdem wissen wir: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{1} [/mm] \ = \ 1 \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}$
[/mm]
Daraus folgt also: $1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$
Aus dieser Beziehung, daß unser gesuchter Grenzwert sowohl größer-gleich 1 als auch kleiner-gleich 1 sein soll/muß, folgt unmittelbar die Behauptung: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n} [/mm] \ [mm] \red{=} [/mm] \ 1$
In Deinem aufgeführten Beispiel schätzt Du nach oben hin zu großzügig ab, und kannst daraufhin auch nur den Grenzwert eingrenzen, jedoch nicht exakt bestimmen.
Und, Fehler erkannt sowie ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:47 So 31.07.2005 | | Autor: | chris_tian |
Hallo Loddar,
jetzt fällts mir wie Schuppen von den Augen. Vielen Dank für deine Erklärung.
Gruß Christian
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