Grenzwert von Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 So 12.05.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | 1) [mm] \bruch{2n-n^2+3n^3}{n^3+7n-1}
[/mm]
2) [mm] \bruch{1+3n^3}{(n^2+1)^2}
[/mm]
3) [mm] \bruch{1-(1-\bruch{1}{n})^3}{
1-(1-\bruch{1}{n})^2}
[/mm]
4) [mm] \wurzel[n]{\bruch{3}{n}}
[/mm]
5) [mm] \bruch{2^n+n^3}{n^2+3^n}
[/mm]
6) [mm] \bruch{n^2+2^n+n^n}{n^n+2n+n!} [/mm] |
1) [mm] \bruch{2n-n^2+3n^3}{n^3+7n-1}= [/mm] 3
2) [mm] \bruch{1+3n^3}{(n^2+1)^2}=0
[/mm]
3) [mm] \bruch{1-(1-\bruch{1}{n})^3}{1-(1-\bruch{1}{n})^2}= [/mm] hier bekomme ich die umformung nicht hin.
4) [mm] \wurzel[n]{\bruch{3}{n}}= [/mm] 1
5) [mm] \bruch{2^n+n^3}{n^2+3^n}= [/mm] existiert nicht
6) [mm] \bruch{n^2+2^n+n^n}{n^n+2n+n!}=0
[/mm]
stimmt meine Lösung soweit?
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 So 12.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> 1) [mm]\bruch{2n-n^2+3n^3}{n^3+7n-1}=[/mm] 3
Vermutlich meinst du
[mm] \red{\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{2n-n^{2}+3n^{3}}{n^{3}+7n-1}=3
[/mm]
Die Notation [mm] \frac{2n-n^{2}+3n^{3}}{n^{3}+7n-1}=3 [/mm] ist jedenfalls falsch.
>
> 2) [mm]\bruch{1+3n^3}{(n^2+1)^2}=0[/mm]
Das stimmt erst, wenn [mm] \lim\limits_{n\to\infty} [/mm] davorsteht.
>
> 3) [mm]\bruch{1-(1-\bruch{1}{n})^3}{1-(1-\bruch{1}{n})^2}=[/mm]
> hier bekomme ich die umformung nicht hin.
Klammere [mm] 1-\frac{1}{n} [/mm] in der höchstmöglichen Potenz aus
>
> 4) [mm]\wurzel[n]{\bruch{3}{n}}=[/mm] 1
Mit dem Grenzwert davor stimmt es
>
> 5) [mm]\bruch{2^n+n^3}{n^2+3^n}=[/mm] existiert nicht
Warun sollte der Grenzwert nicht existieren? Meiner Meinung nach hat diese Funktion einen Grenzwert. Zeige mal deine Überlegungen.
>
> 6) [mm]\bruch{n^2+2^n+n^n}{n^n+2n+n!}=0[/mm]
Da sollte meiner Meinung nach 1 herauskommen zeige mal deine Rechnungen
>
> stimmt meine Lösung soweit?
>
> LG
> heinze
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 So 12.05.2013 | | Autor: | heinze |
sorry, die Notation ist natürlich falsch, total vergessen den Limes davor zu schreiben.
Nochmal zur 3)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-(1-\bruch{1}{n})^3}{1-(1-\bruch{1}{n})^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0} [/mm] und dann gäbe es ja keinen Grenzwert (kriege es leider nicht hin meine Umformung hier zu posten, zeigt dann immer totalen Zeichenchaos an)
zu 5)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^n+n^3}{n^2+3^n}
[/mm]
[mm] 2^n [/mm] und [mm] 3^n [/mm] haben den Grenzwert 0 dann bleibt ja noch [mm] \bruch{n^3}{n^2} [/mm] und davon existiert kein Grenzwert wegen [mm] \bruch{1}{0}
[/mm]
oder kann ich [mm] 2^n [/mm] ausklammern? also [mm] \bruch{\bruch{2^n}{2^n}+\bruch{n^3}{2^n}}{\bruch{n^2}{2^n}+\bruch{3^n}{2^n}}=\bruch{1}{\bruch{3}{2}}=\bruch{2}{3}
[/mm]
Das gleiche Problem habe ich auch bei 6. kann ich hier [mm] n^n [/mm] ausklammern? Dann würde ich als Grenzwert 1 erhalten.
LG
heinze
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Hallo,
> sorry, die Notation ist natürlich falsch, total vergessen
> den Limes davor zu schreiben.
>
> Nochmal zur 3)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-(1-\bruch{1}{n})^3}{1-(1-\bruch{1}{n})^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{0}[/mm] und dann gäbe es ja keinen Grenzwert
> (kriege es leider nicht hin meine Umformung hier zu posten,
> zeigt dann immer totalen Zeichenchaos an)
Dann kann man leider auch nicht mehr sagen, als dass es falsch ist. Der Grenzwert existiert.
>
> zu 5)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^n+n^3}{n^2+3^n}[/mm]
>
> [mm]2^n[/mm] und [mm]3^n[/mm] haben den Grenzwert 0 dann bleibt ja noch
> [mm]\bruch{n^3}{n^2}[/mm] und davon existiert kein Grenzwert wegen
> [mm]\bruch{1}{0}[/mm]
>
> oder kann ich [mm]2^n[/mm] ausklammern? also
> [mm]\bruch{\bruch{2^n}{2^n}+\bruch{n^3}{2^n}}{\bruch{n^2}{2^n}+\bruch{3^n}{2^n}}=\bruch{1}{\bruch{3}{2}}=\bruch{2}{3}[/mm]
>
Auch das ist falsch, wo ist der Exponent geblieben?
> Das gleiche Problem habe ich auch bei 6. kann ich hier [mm]n^n[/mm]
> ausklammern? Dann würde ich als Grenzwert 1 erhalten.
Das mit dem Ausklammern ist schon richtig, aber da braucht es noch die eine oder andere Begründung dazu. Auf jeden Fall kommt 1 heraus, das hatte M.Rex ja schon geschrieben.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 12.05.2013 | | Autor: | heinze |
Kann mir das mit 3,5,6 nochmal jemand erklären?? Mit 3 und 5 komme ich nicht zurecht.
Und was bedarf es für begründungen bei 6?? Ich kann ja nur [mm] n^n [/mm] ausklammern, da dieses am "schnellesten wächst" und alle anderen Grenzwerte sind 0 (sieht man wenn man es ausformuliert)
LG
heinze
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Hallo,
> Kann mir das mit 3,
nee: da musst du schon mal eine eigen Rechnung präsentieren. Das ist dermaßen einfach per binomischen Formeln zu berechnen, das man das m.E. erwarten kann.
> 5,6 nochmal jemand erklären?? Mit 3 und
> 5 komme ich nicht zurecht.
Bei der 5) klammert man im Zähler [mm] 2^n, [/mm] im Nenner [mm] 3^n [/mm] aus. Die entstehenden Faktoren streben gegen 1, also kann man sie vernachlässigen. Der Rest strebt dabei zunächst einmal gegen
[mm] \left(\bruch{2}{3}\right)^n
[/mm]
und da musst du jetzt untersuchen, was für [mm] n->\infty [/mm] passiert.
>
> Und was bedarf es für begründungen bei 6?? Ich kann ja
> nur [mm]n^n[/mm] ausklammern, da dieses am "schnellesten wächst"
> und alle anderen Grenzwerte sind 0 (sieht man wenn man es
> ausformuliert)
Wenn man verwenden darf, dass [mm] n^n [/mm] schneller wächst als n! dann ist man in der Tat nach dem Ausklammern fertig. Ansonsten wäre eben diese Tatsache noch zu zeigen. Das musst du selbst entscheiden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 So 12.05.2013 | | Autor: | heinze |
Nicht das Rechnen ist das Problem, sondern das posten hier im Forum!! Ich kann nen letzten Versuch starten!
Wenn ich binomische Formeln anwende erhalte ich:
[mm] \bruch{1-1-\bruch{1}{n^3}+\bruch{3}{n^2}-\bruch{3}{n}}{1-1-\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{1}{n^3}+\bruch{3}{n^2}-\bruch{3}{n}}{\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}
[/mm]
und hier komme ich nicht mehr weiter!!
und 5) verstehe ich nicht, warum ich nicht so ausklammern kann. Wenn ich im Zähler [mm] 2^n [/mm] und Nenner [mm] 3^n [/mm] ausklammere, warum muss ich die Potenz beibehalten?? Muss ich dann eine zweite Grenzwertbetrachtung machen??? Denn dann wäre der Grenzwert 0!
LG
heinze
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Hallo,
> Nicht das Rechnen ist das Problem, sondern das posten hier
> im Forum!! Ich kann nen letzten Versuch starten!
>
> Wenn ich binomische Formeln anwende erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{1-1-\bruch{1}{n^3}+\bruch{3}{n^2}-\bruch{3}{n}}{1-1-\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\bruch{1}{n^3}+\bruch{3}{n^2}-\bruch{3}{n}}{\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}[/mm]
falsch: nicht das Posten ist das Problem, sondern das Rechnen. Da sind massenhaft Vorzeichenfehler drin!
>
> und hier komme ich nicht mehr weiter!!
Wenn du die Vorzeichen korrigiert hast, dann erweitere mit [mm] n^3.
[/mm]
>
> und 5) verstehe ich nicht, warum ich nicht so ausklammern
> kann. Wenn ich im Zähler [mm]2^n[/mm] und Nenner [mm]3^n[/mm] ausklammere,
> warum muss ich die Potenz beibehalten??
Umgekehrt: wie um alles in der Welt kommst du darauf, man dürfe eine Potenz 'wegkürzen'??? Nach deiner 'Logik' wäre etwa
[mm] \bruch{4}{9}=\bruch{2*2}{3*3}=\bruch{2^2}{3^2}=\bruch{2}{3}
[/mm]
So viel dazu...
Muss ich dann eine
> zweite Grenzwertbetrachtung machen??? Denn dann wäre der
> Grenzwert 0!
So ist es auch.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 So 12.05.2013 | | Autor: | heinze |
Okay, 5 ist mir nun klar....
Aber bei 3 hängt es noch..
[mm] \bruch{-\bruch{1}{n^2}+\bruch{2}{n}}{\bruch{1}{n^3}-\bruch{3}{n^2}+\bruch{3}{n}}
[/mm]
mit [mm] n^3 [/mm] erweitert:
[mm] \bruch{-n+2n^2}{1-3n+3n^2}
[/mm]
Dann [mm] n^2 [/mm] ausklammern und ich erhalte [mm] \bruch{2}{3} [/mm] als Grenzwert.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 So 12.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Okay, 5 ist mir nun klar....
> Aber bei 3 hängt es noch..
>
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{n^2}+\bruch{2}{n}}{\bruch{1}{n^3}-\bruch{3}{n^2}+\bruch{3}{n}}[/mm]
Das stimmt so nicht. Du hast Zähler und Nenner vertauscht
>
> mit [mm]n^3[/mm] erweitert:
>
> [mm]\bruch{-n+2n^2}{1-3n+3n^2}[/mm]
>
> Dann [mm]n^2[/mm] ausklammern und ich erhalte [mm]\bruch{2}{3}[/mm] als
> Grenzwert.
>
Das ist viel zu umständlich.
[mm] \bruch{\bruch{1}{n^3}-\bruch{3}{n^2}+\bruch{3}{n}}{-\bruch{1}{n^2}+\bruch{2}{n}}
[/mm]
[mm] =\frac{\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{3}{n}+3\right)}{\frac{1}{n}\cdot\left(2-\frac{1}{n}\right)}
[/mm]
[mm] =\frac{\frac{1}{n^{2}}-\frac{3}{n}+3}{2-\frac{1}{n}}
[/mm]
Mache nun den Grenzübergang.
>
> LG
> heinze
>
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 12.05.2013 | | Autor: | heinze |
Danke, dann ist der Grenzwert wohl [mm] \bruch{3}{2}!
[/mm]
LG
heinze
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> Danke, dann ist der Grenzwert wohl [mm]\bruch{3}{2}![/mm]
>
Hallo,
messerscharf geschlossen!
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 So 12.05.2013 | | Autor: | gregg |
Hallo, eine kurze Verständnisfrage:
$ [mm] \bruch{\bruch{1}{n^3}-\bruch{3}{n^2}+\bruch{3}{n}}{-\bruch{1}{n^2}+\bruch{2}{n}} [/mm] $
bis dahin ist für mich alles verständlich. Wieso kann ich dann die Grenzwertfolge nicht direkt bestimmen, ohne z.B. [mm] \bruch{1}{n} [/mm] auszuklammern?
Verstehe den Gedankengang nicht, wieso dies noch weitergeführt werden muss.
Danke!
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Hallo,
> Hallo, eine kurze Verständnisfrage:
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> [mm]\bruch{\bruch{1}{n^3}-\bruch{3}{n^2}+\bruch{3}{n}}{-\bruch{1}{n^2}+\bruch{2}{n}}[/mm]
>
> bis dahin ist für mich alles verständlich. Wieso kann ich
> dann die Grenzwertfolge nicht direkt bestimmen, ohne z.B.
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] auszuklammern?
>
> Verstehe den Gedankengang nicht, wieso dies noch
> weitergeführt werden muss.
Weil sonst ein Asudruck der Form 0/0 dasteht, was bekanntlich nicht definiert ist.
Gruß, Diophant
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