Grenzwert von Integral < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:47 Mo 24.01.2011 | | Autor: | novex |
| Aufgabe | Berechnen sie den Grenzwert des nachfolgenden uneigetnlichen Integrals , falls existent.
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm] |
Sooo, ich habe da also mal die Stammfunktion erstellt , die lautet wie folgt :
[mm]F(x) = e^{\bruch{-1}{x}} [/mm]
nun zum Grenzwert....
Wenn x gegen 0 läuft ....dann wird die innere Funktion immer größer..das heißt es wird [mm] \infty [/mm] , es wird aber [mm] -\infty [/mm] wegen dem minus vor [mm] \bruch{1}{x}[/mm]
Also wird es zu [mm]e^{-\infty}[/mm] was ja gegen 0 läuft .....
Also ist der grenzwert der unteren grenze 0
Bei der Oberen grenze läuft [mm] \bruch{-1}{x} [/mm] gegen 0... da[mm] e^0 = 1[/mm] ist würde ich mal behaupten der grenzwert des inegrals ist einfach nur 1
ist das so richtig erklärt ? bzw. würde ich das so in der klausur erklären wäre das falsch ? xD
gruß noveX
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:42 Mo 24.01.2011 | | Autor: | al3pou |
Also ich habe die gleiche Stammfunktion raus.
F(x) = [mm] e^{-\bruch{1}{x}}
[/mm]
so und jetzt zum Grenzwert. Man soll ja nur den Grenzwert errechnen also nur einen. Steht auch im Integral. Naja aufjedenfall gibt es da schonmal ein Problem, weil die Funktion für 0 nicht definiert ist -> Division durch 0 geht nicht.
f(x) = [mm] e^{-\bruch{1}{x}} [/mm] * [mm] x^{-2}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] F(\infty) [/mm] - F(0)
F(x) = [mm] e^{-\bruch{1}{x}}
[/mm]
F(0) geht nicht, da Division durch Null
also bleibt nur noch [mm] F(\infty) [/mm] und dafür geht die Funktion gegen 1
also ist [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] F(x) = 1
Solltest bei dir, aber auf geeignetes Fachvokabular achten und das ganze durch Formel und sowas verdeutlichen.
Hoffe, ich konnte helfen 
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:16 Mo 24.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen sie den Grenzwert des nachfolgenden
> uneigetnlichen Integrals , falls existent.
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm]
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> Sooo, ich habe da also mal die Stammfunktion erstellt , die
> lautet wie folgt :
>
> [mm]F(x) = e^{\bruch{-1}{x}}[/mm]
>
>
> nun zum Grenzwert....
>
> Wenn x gegen 0 läuft ....dann wird die innere Funktion
> immer größer..das heißt es wird [mm]\infty[/mm] , es wird aber
> [mm]-\infty[/mm] wegen dem minus vor [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Also wird es zu [mm]e^{-\infty}[/mm] was ja gegen 0 läuft .....
>
> Also ist der grenzwert der unteren grenze 0
>
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> Bei der Oberen grenze läuft [mm]\bruch{-1}{x}[/mm] gegen 0... da[mm] e^0 = 1[/mm]
> ist würde ich mal behaupten der grenzwert des inegrals ist
> einfach nur 1
>
> ist das so richtig erklärt ? bzw. würde ich das so in der
> klausur erklären wäre das falsch ? xD
In der Klausur würdest Du dafür wahrscheinlich nur weing Punkte bekommen ...........
Warum hältst Du Dich nicht an die Definition ?
[mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm] existiert [mm] \gdw [/mm] die Grenzwerte
[mm]\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{a}^{1}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm] und [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm]
existieren beide. In diesem Fall ist
[mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-1/x} * x^{-2} dx} =\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{a}^{1}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}+ \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{e^{-1/x} * x^{-2} dx} [/mm]
FRED
>
> gruß noveX
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> [mm][/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Mo 24.01.2011 | | Autor: | novex |
> > Berechnen sie den Grenzwert des nachfolgenden
> > uneigetnlichen Integrals , falls existent.
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm]
> >
> > Sooo, ich habe da also mal die Stammfunktion erstellt , die
> > lautet wie folgt :
> >
> > [mm]F(x) = e^{\bruch{-1}{x}}[/mm]
> >
> >
> > nun zum Grenzwert....
> >
> > Wenn x gegen 0 läuft ....dann wird die innere Funktion
> > immer größer..das heißt es wird [mm]\infty[/mm] , es wird aber
> > [mm]-\infty[/mm] wegen dem minus vor [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> >
> > Also wird es zu [mm]e^{-\infty}[/mm] was ja gegen 0 läuft .....
> >
> > Also ist der grenzwert der unteren grenze 0
> >
> >
> > Bei der Oberen grenze läuft [mm]\bruch{-1}{x}[/mm] gegen 0... da[mm] e^0 = 1[/mm]
> > ist würde ich mal behaupten der grenzwert des inegrals ist
> > einfach nur 1
> >
> > ist das so richtig erklärt ? bzw. würde ich das so in der
> > klausur erklären wäre das falsch ? xD
>
> In der Klausur würdest Du dafür wahrscheinlich nur weing
> Punkte bekommen ...........
>
> Warum hältst Du Dich nicht an die Definition ?
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> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm] existiert
> [mm]\gdw[/mm] die Grenzwerte
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{a}^{1}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm]
> und
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm]
>
> existieren beide. In diesem Fall ist
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-1/x} * x^{-2} dx} =\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{a}^{1}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}+ \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm]
>
> FRED
>
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> >
> > gruß noveX
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> >[mm][/mm]
>
Ja gut.... die definition sieht ja mal nicht schlecht aus, aber ich weiß nun trozdem noch nicht wie ich den grenzwert richtig bestimme :)
Also der Grenzwert wird wohl 1 sein aber wie schreib ich das dann richtig hin ??
gruß noveX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Mo 24.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Berechnen sie den Grenzwert des nachfolgenden
> > > uneigetnlichen Integrals , falls existent.
> > >
> > > [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm]
> > >
> > > Sooo, ich habe da also mal die Stammfunktion erstellt , die
> > > lautet wie folgt :
> > >
> > > [mm]F(x) = e^{\bruch{-1}{x}}[/mm]
> > >
> > >
> > > nun zum Grenzwert....
> > >
> > > Wenn x gegen 0 läuft ....dann wird die innere Funktion
> > > immer größer..das heißt es wird [mm]\infty[/mm] , es wird aber
> > > [mm]-\infty[/mm] wegen dem minus vor [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> > >
> > > Also wird es zu [mm]e^{-\infty}[/mm] was ja gegen 0 läuft .....
> > >
> > > Also ist der grenzwert der unteren grenze 0
> > >
> > >
> > > Bei der Oberen grenze läuft [mm]\bruch{-1}{x}[/mm] gegen 0... da[mm] e^0 = 1[/mm]
> > > ist würde ich mal behaupten der grenzwert des inegrals ist
> > > einfach nur 1
> > >
> > > ist das so richtig erklärt ? bzw. würde ich das so in der
> > > klausur erklären wäre das falsch ? xD
> >
> > In der Klausur würdest Du dafür wahrscheinlich nur weing
> > Punkte bekommen ...........
> >
> > Warum hältst Du Dich nicht an die Definition ?
> >
> >
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm] existiert
> > [mm]\gdw[/mm] die Grenzwerte
> >
> > [mm]\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{a}^{1}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm]
> > und
> > [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm]
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> >
> > existieren beide. In diesem Fall ist
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-1/x} * x^{-2} dx} =\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{a}^{1}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}+ \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}[/mm]
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> > FRED
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> > > gruß noveX
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> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> > >
> > >[mm][/mm]
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> Ja gut.... die definition sieht ja mal nicht schlecht aus,
So ist es.............
> aber ich weiß nun trozdem noch nicht wie ich den grenzwert
> richtig bestimme :)
>
> Also der Grenzwert wird wohl 1 sein aber wie schreib ich
> das dann richtig hin ??
1. [mm] \integral_{a}^{1}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}= [e^{-1/x}]_a^1 [/mm] ; berechne das und lasse dann a gegen 0 gehen. Was rauskommt nenne [mm] I_1
[/mm]
2. [mm] \integral_{1}^{b}{e^{-1/x} * x^{-2} dx}= [e^{-1/x}]_1^b [/mm] ; berechne das und lasse dann b gegen [mm] \infty [/mm] gehen. Was rauskommt nenne [mm] I_2
[/mm]
Dann ist $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-1/x} \cdot{} x^{-2} dx} =I_1+I_2$
[/mm]
FRED
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> gruß noveX
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