www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert von Wurzel
Grenzwert von Wurzel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwert von Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Mi 01.12.2010
Autor: MatheStudi7

Aufgabe
Berechnen Sie:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left( \left( \wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n} \right) + i* \left( \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}} + ... + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} \right) \right) [/mm] $

Puh, endlich fertig mit Aufgabe eintippen :-)
Guten Abend liebes Forum.

Zur Aufgabe: Wie man sieht, soll man den Grenzwert dieser komplexen Folge ausrechnen.
Aus der VL weiß ich, dass man hier Real- und Imaginärteil seperat betrachten muss.

Realteil
Ich will erstmal den Ausdruck umformen, damit ich besser sehe ob er konvergiert oder nicht:
[mm] \wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n}\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n}\left(\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}} - 1\right) [/mm]
Hm, ich glaube nicht, dass das mich groß weiter gebracht hat.
Eine andere Idee wäre, dass ich den Ausdruck abschätze:
[mm] \wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n} \le \wurzel{n+n}-\wurzel{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n}\left( \wurzel{2}-1 \right) [/mm]
Das divergiert allerdings auch. Hat jemand einen Tipp, wie man hier am besten weiter kommt?

Imaginärteil
Hier würde ich auch wieder abschätzen:
[mm] \left(\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}} + ... + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}}\right) \ge \left( \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} + ... + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} \right) [/mm] = [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}} [/mm]
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] geht gegen 0! Wenn ich jetzt noch davon ausgehen kann, dass $ [mm] \wurzel{1} [/mm] = 1 $ ist, wär der Teil zumindest mal erledigt.

Danke für jede Hilfe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Grenzwert von Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Mi 01.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo MatheStudi7,

die Idee, Real- und Imaginärteil der Folge zu untersuchen, ist schon mal sehr gut!


> Berechnen Sie:
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left( \left( \wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n} \right) + i* \left( \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}} + ... + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} \right) \right)[/mm]
>  
> Puh, endlich fertig mit Aufgabe eintippen :-)

[applaus]

>  Guten Abend liebes Forum.
>  
> Zur Aufgabe: Wie man sieht, soll man den Grenzwert dieser
> komplexen Folge ausrechnen.
>  Aus der VL weiß ich, dass man hier Real- und
> Imaginärteil seperat betrachten muss. [ok]
>  
> Realteil
>  Ich will erstmal den Ausdruck umformen, damit ich besser
> sehe ob er konvergiert oder nicht:
>  [mm]\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n}[/mm] =
> [mm]\wurzel{n}\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm] =
> [mm]\wurzel{n}\left(\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}} - 1\right)[/mm]
>  
> Hm, ich glaube nicht, dass das mich groß weiter gebracht
> hat.
>  Eine andere Idee wäre, dass ich den Ausdruck abschätze:
>  [mm]\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n} \le \wurzel{n+n}-\wurzel{n}[/mm]
> = [mm]\wurzel{n}\left( \wurzel{2}-1 \right)[/mm]
>  Das divergiert
> allerdings auch. Hat jemand einen Tipp, wie man hier am
> besten weiter kommt?

Ich würde es mit Erweitern versuchen, ein typischer Trick, Summen oder Differenzen von Wurzeln loszuwerden, ist so zu erweitern, dass die 3.binom. Formel entsteht!

[mm]\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})\cdot{}\red{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}}{\red{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}[/mm][mm]=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}[/mm]

Hier erweitere also mit [mm]\sqrt{n+\sqrt{n}} \ \red{+} \ \sqrt{n}[/mm]

>  
> Imaginärteil
>  Hier würde ich auch wieder abschätzen:
>  [mm]\left(\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}} + ... + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}}\right) \ge \left( \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} + ... + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} \right)[/mm]
> = [mm]\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}}[/mm] [ok]

Sehr gut!

>  [mm]\bruch{1}{n}[/mm] geht gegen 0! Wenn ich jetzt noch davon
> ausgehen kann, dass [mm]\wurzel{1} = 1[/mm] ist, wär der Teil
> zumindest mal erledigt.

Ja, diese Minorante, gegen die du abgeschätzt hast, strebt gegen 1.

Finde noch eine Majorante zur Imaginärteilfolge, die ebenfalls gegen 1 konvergiert.

Dann bist du wegen des Sandwichlemmas fertig.

Schätze dazu wieder den Nenner ab, dieses Mal mit dem kleinsten Summanden, der auftritt.

>  
> Danke für jede Hilfe
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Grenzwert von Wurzel: Korrekturhinweis (edit.)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:07 Mi 01.12.2010
Autor: Loddar

Hallo Mathestudi!


Ergänzend zur anderen Antwort: Du hast hier auch falsch korrekt ausgeklammert.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwert von Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:10 Mi 01.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Loddar,


> Hallo Mathestudi!
>  
>
> Ergänzend zur anderen Antwort: Du hast hier auch falsch
> ausgeklammert.

Magst du oben nicht nochmal genauer lesen und ...

>  
> Es gilt:
>  
> [mm]\wurzel{n+\wurzel{n}} \ = \ \wurzel{n}*\wurzel{\wurzel{n}+1}[/mm]

... dies nochmal mathemat. überdenken?

;-)

Gruß

schachuzipus



>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de