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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
habe gleich drei Fragen.
1) Warum gilt: [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{\log(n+1)}{\log(n)}=1$ [/mm] ?
(Ohne L´Hospital !)
2) Sei [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] f(x)*g(x)=0$
Es gilt [mm] $g(x)\to\infty$. [/mm] Dann folgt doch [mm] $f(x)\to [/mm] 0$ oder ?
3) Sei [mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ [/mm] und [mm] $g(x)\to\infty$. [/mm] Ferner $f(x)>0$ für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Dann folgt [mm] $f(x)\to\infty$.
[/mm]
Richtig ?
Würde mich freuen, wenn ihr mir da helfen könntet.
Danke !
LG
Fry
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Hallo Fry,
1) Das kannst Du mit ein bisschen Überlegung aus der Betrachtung von [mm] \tfrac{n+1}{n} [/mm] folgern.
2) Ja.
3) Ja.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo Reverend !
Danke für deine Antwort !
Zu a) Es gilt zwar [mm] \frac{n+1}{n}\to [/mm] 1,
aber trotzdem muss sich ja das Grenzverhalten nicht unbedingt übertragen, wenn ich auf beide Terme log anwende. Aber du meinst sicherlich was anderes, oder ?
LG
Fry
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Hallo Fry,
> Danke für deine Antwort !
> Zu a) Es gilt zwar [mm]\frac{n+1}{n}\to[/mm] 1,
> aber trotzdem muss sich ja das Grenzverhalten nicht
> unbedingt übertragen, wenn ich auf beide Terme log
> anwende.
Klar. Sonst wäre [mm] \limes_{n\to\infty}\bruch{e^{n+1}}{e^n} [/mm] mit dem gleichen Argument wohl auch 1 und nicht e 
> Aber du meinst sicherlich was anderes, oder ?
Ja:
[mm] \bruch{\log{(n+1)}}{\log{n}}=\bruch{\log{(n+1)}\blue{+\log{n}-\log{n}}}{\log{n}}=\bruch{\log{n}+\log{(n+1)}-\log{n}}{\log{n}}=\bruch{\log{n}}{\log{n}}+\bruch{\log{\left(\blue{\bruch{n+1}{n}}\right)}}{\log{n}}=1+\bruch{\log{\left(1+\bruch{1}{n}\right)}}{\log{n}}
[/mm]
So, da wären wir. Wenn Du jetzt die Grenzwertbetrachtung durchführst, geht der ganze schöne Bruch heftig gegen Null, nämlich der Zähler als solches, während der Nenner auch noch gegen [mm] \infty [/mm] läuft. Was bleibt, ist die 1.
Sorry, wahrscheinlich wäre der Tipp "fette Null" besser gewesen.
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Fry |
Super, danke schön :)
Gruß
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:39 So 06.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Fry,
bevor ich dann doch mal schlafen gehe, nur noch ein Hinweis:
Die geschickte Zufügung einer "fetten Null" (auch nahrhaft genannt) sieht immer ein bisschen nach Zauberei aus und verleitet den Leser/die Leserin schnell zu dem Gedanken, darauf ja nie selbst gekommen zu sein.
Meistens gibt es einen guten Grund für die Zufügung, so auch hier. Ich hatte keinen Geistesblitz.
Der vermutete Grenzwert war ja 1. Das ist recht oft so, dass man intuitiv das Ergebnis schon kennt und nur noch den Nachweis dafür sucht. Manchmal wird ja sogar schon mitgeteilt, was eigentlich zu zeigen ist.
Ich habe darum direkt diese Frage betrachtet:
Ist [mm] \left(\limes_{n\to\infty}\bruch{\log{(n+1)}}{\log{n}}\right)-1=0 [/mm] ?
Der Rest ist Umformung:
[mm] \left(\limes_{n\to\infty}\bruch{\log{(n+1)}}{\log{n}}\right)-1=\limes_{n\to\infty}\left(\bruch{\log{(n+1)}}{\log{n}}-1\right)=\limes_{n\to\infty}\left(\bruch{\log{(n+1)}}{\log{n}}-\bruch{\log{n}}{\log{n}}\right)=\limes_{n\to\infty}\left(\bruch{\log{(n+1)}-\log{n}}{\log{n}}\right)=\cdots
[/mm]
Das ging auf. Die "nahrhafte Null" wurde dann erst nötig, um nicht diese Formulierung der Fragestellung, sondern den ursprünglich gesuchten Grenzwert darzustellen.
Das, und nicht mehr, ist meistens das ganze Geheimnis hinter den ach so geschickten Umformungen.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 So 06.12.2009 | | Autor: | Fry |
Hey Reverend,
das werde mich mir merken, von dem Standpunkt hab ich das noch gar nicht gesehen.
Vielen Dank!
Gruß
Fry
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