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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:47 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Dea |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf einer I-net-Seite gestellt.
Hallo!
Ich soll folgenden Grenzwert in [mm] \IC [/mm] für c>0, [mm] 0<\alpha\le1 [/mm] beweisen:
[mm] \limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\alpha*c*i} {\exp(-(z^2)) dz}=0
[/mm]
Da ich schon mal etwas ähnliches gesehen habe, wollte ich ähnlich vorgehen und bin so weit gekommen:
[mm] |\integral_{0}^{\alpha*c*i} {\exp(-(z^2)) dz}|=
[/mm]
mit z=t*i und dz=i*dt
[mm] |\integral_{0}^{\alpha*c} {\exp(-(t*i)^2)*i dt}|=
[/mm]
[mm] |\integral_{0}^{\alpha*c} {\exp(t^2)*i dt}|\le
[/mm]
[mm] |\integral_{0}^{\alpha*c} {|\exp(t^2)||i| dt}|=
[/mm]
[mm] |\integral_{0}^{\alpha*c} {\exp(t^2) dt}|=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\alpha*c} {\exp(t^2) dt}\le
[/mm]
bei der ähnlichen Aufgabe wurde dann der Integrationsbereich vergrößert:
[mm] \integral_{0}^{c} {\exp(t^2) dt}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{c} {\exp(t^2-c*t+c*t) dt}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{c} {\exp(c*t-t*(c-t)) dt}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{c} {\exp(c*t)*\exp(-t*(c-t)) dt}\le
[/mm]
da c>t und t>0 ist [mm] \exp(-t*(c-t))\le1
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{c} {\exp(c*t) dt}\le
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{c} {\exp(c*t) dt}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{c}*\exp(c^2)
[/mm]
Und mein Problem nun: Bei der ähnlichen Rechnung hatte ich noch die Konstante [mm] \exp(-(c^2)) [/mm] vor dem Integral und kam somit auf das Ergebnis
[mm] \bruch{1}{c} [/mm] und das geht für [mm] c\to\infty [/mm] gegen 0.
Dieses Ergebnis geht aber gar nicht gegen Null. Gibt es eine Möglichkeit, den Faktor [mm] \exp(c^2) [/mm] wegzubekommen?
Oder muss ich von Anfang an anders vorgehen?
Liebe Grüße,
Dea
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Sa 29.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Dea
du kannst nicht einfach z=it setzen! höchstens z=r+it; [mm] z^{2}=r^{2}-2rit -t^{2}.
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Dea |
Aber ich integriere von 0 nach [mm] \alpha*i*c, [/mm] also entlang der imaginären Achse, und auf dieser gilt doch [mm] z=\exp(it), [/mm] oder?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Di 01.11.2005 | | Autor: | Dea |
Aber ich integriere von 0 nach [mm] \alpha*i*c, [/mm] also entlang der imaginären Achse, und auf dieser gilt doch [mm] z=\exp(it), [/mm] oder?
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Da ist doch irgendwo der Wurm drin. Was soll z.B. das [mm]\alpha[/mm] in der Formel? Wenn sie denn stimmen würde, so hätte das [mm] \alpha [/mm] ja überhaupt keine Bedeutung. Substituiere [mm]c' = \alpha c[/mm]. Dann sind wegen [mm]\alpha > 0[/mm] die Grenzübergänge [mm]c \to \infty[/mm] und [mm]c' \to \infty[/mm] gleichwertig.
Wenn man dann durch [mm]z = \operatorname{i}t \, , \ \mathrm{d}z = \operatorname{i} \, \mathrm{d}t[/mm] parametrisiert (das Integral ist übrigens wegunabhängig, so daß man nicht unbedingt entlang der imaginären Achse zu integrieren braucht), erhält man
[mm]\int_0^{\alpha c \operatorname{i}}~\operatorname{e}^{-z^2}~\mathrm{d}z \ = \ \operatorname{i} \int_0^{\alpha c}~\operatorname{e}^{t^2}~\mathrm{d}t[/mm]
Und das letzte Integral ist ja divergent, der Integrand ist ja nicht einmal beschränkt.
Also: Fragen über Fragen ...
Du solltest zuerst deine Angaben richtigstellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Di 01.11.2005 | | Autor: | Dea |
Die Frage, die ich hier eingestellt habe, ist nur Teil einer Augabe, bei der man insgesamt 4 Teilintegrale abschätzen muss, welche dann insgesamt ein Parallelogramm ablaufen (deshalb das [mm] \alpha, [/mm] welches für dieses Integral zugegebenermaßen keine Rolle spielt).
Das Parallogramm hat die Ecken (in der komplexen Ebene): [mm] (0,0);(c,-i*c*\alpha);(c,0) [/mm] und [mm] (0,i*c*\alpha)
[/mm]
Das Integral [mm] \integral_{0}^{c+c*i*\alpha} [/mm] {f(x) dx} für [mm] c\to \infty [/mm] habe ich bereits in der vorherigen Aufgabe (des Buches, der ich diese Aufgabe entnommen habe) ausgewertet, ebenso weiß ich aus der vorherigen Aufgabe, dass das Integral [mm] \integral_{c}^{c+i*c*\alpha} [/mm] {f(x) dx} für [mm] c\to \infty [/mm] gegen 0 geht.
Nun ist zu zeigen, dass das Integral, dass ich auch in meiner 1. Fage angegeben habe, also [mm] \integral_{0}^{i*c*\alpha} [/mm] {f(x) dx}=0 für [mm] c\to \infty
[/mm]
um dann den Wert für das 4. integral abschätzen zu können.
Ich hoffe, ihr versteht jetzt, wie ich meine Aufgabenstellung eigentlich gemeint habe 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Di 01.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Dea
Das Integral längs der imaginären Achse ist sicher nicht 0. Für alle endlichen [mm] c*\alpha [/mm] ist das Integral wegen des Caucy-Integralsatz 0. Wenn du es stückweise ausrechnest musst du fast sicher die beiden Integrale längs rein imaginärer Richtung zusammen betrachten. Was hast du mit dem Integral von
[mm] (c,-i*c*\alpha);(c,0) [/mm] gemacht? da kommt doch auch [mm] e^{-t^{2}} [/mm] vor?
Vielleicht postest du die wirkliche Aufgabe, damit man sieht was es mit [mm] \alpha [/mm] auf sich hat.
Anders als mit unendlich kannst du jedenfalls diese Integral nicht abschätzen.(mein Meinung)
Gruss leduart
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