Grenzwertberechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Do 28.06.2007 | | Autor: | HoaX |
| Aufgabe | Es sei U = {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : x + y [mm] \not= [/mm] 0}, und [mm] f:U\to \IR [/mm] definiert durch f(x,y) = [mm] (x^2+y^2)/(x+y). [/mm] Zeigen Sie:
a) Für alle u [mm] \in [/mm] U gilt: [mm] \lim_{\lambda \to 0}f(\lambda*u) [/mm] = 0.
b) Der Grenzwert [mm] \lim_{u \to (0,0)}f(u), [/mm] u [mm] \in [/mm] U existiert nicht. |
Komm mit der Aufgabe nicht so recht weiter.
Zuallererst leuchtet mir nicht ein, weshalb die beiden Grenzwerte sich unterscheiden sollten?
Habe folgende Ansätze, würde gerne wissen ob das so klappen könnte oder ob die schonmal komplett falsch sind
a) [mm] X_0=(0,0) \not\in [/mm] D(U) ist Häufungspunkt von D(U)
Behauptung: An dieser Stelle hat f den Grenzwert c = 0
Für [mm] (x_k,y_k)\to(0,0) [/mm] gilt:
Für jede Folge [mm] (X_k), [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] X_k=(x_k,y_k) \in [/mm] D(U), [mm] (x_k,y_k) \not\in [/mm] (0,0), [mm] \lim_{k \to \infty}(x_k,y_k) [/mm] = (0,0) gilt
[mm] |f(x_k,y_k) [/mm] - c| = [mm] |(x_k^2+y_k^2)/(x_k+y_k) [/mm] - 0| => ab hier Abschätzung, dass der Term 0 ergibt
b) Betrachtung spezieller Folgen, zB [mm] (X_k) [/mm] = [mm] (x_k, [/mm] 0) k [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \lim_{k \to \infty}(x_k,0)=(0,0) [/mm] und [mm] (X_k) [/mm] = (0, [mm] y_k) [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \lim_{k \to \infty}(0,y_k)=(0,0) [/mm] und zeigen, dass die Grenzwerte verschieden sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei [mm]U = \{(x,y) \in \IR^2 : x + y \not= 0\}[/mm], und [mm]f:U\to \IR[/mm]
> definiert durch [mm]f(x,y) = (x^2+y^2)/(x+y)[/mm].
> Zeigen Sie:
> a) Für alle [mm]u \in U gilt: \lim_{\lambda \to 0}f(\lambda\cdot u) = 0[/mm].
> b) Der Grenzwert [mm]\lim_{u \to (0,0)}f(u), u \in U[/mm] existiert nicht.
> Komm mit der Aufgabe nicht so recht weiter.
> Zuallererst leuchtet mir nicht ein, weshalb die beiden
> Grenzwerte sich unterscheiden sollten?
Bei [mm]\lim_{\lambda \to 0}f(\lambda\cdot u)[/mm] nähert man sich [mm](0,0)[/mm] aus konstanter Richtung [mm]u[/mm], bei [mm]\lim_{u \to (0,0)}f(u)[/mm] hingegen nicht: daher der Unterschied.
Es ist einfacher zu sehen, wo das Problem liegt, wenn man sich den Funktionsterm von [mm]f[/mm] in Polarkoordinaten [mm]x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)[/mm] anschaut:
[mm]f(r,\varphi)=\frac{r^2}{r\cos(\varphi)+r\sin(\varphi)} = \frac{r}{\cos(\varphi)+\sin(\varphi)}[/mm]
Zwar ist es durchaus so, dass dieser Term für konstantes [mm]\varphi[/mm] mit [mm]\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\neq 0[/mm] (!) für [mm]r\rightarrow 0[/mm] gegen [mm]0[/mm] geht. Aber: Falls man sich gleichzeitig einem [mm]\varphi_0[/mm] nähert, für das [mm]\cos(\varphi_0)+\sin(\varphi_0)=0[/mm] ist, kann (für eine solche spezielle "Testfolge" [mm](x_n,y_n)[/mm]) durchaus ein Grenzwert [mm]\neq 0[/mm] herauskommen: wodurch die Existenz des Grenwerts [mm]\lim_{u \to (0,0)}f(u)[/mm] widerlegt wird.
Ein solches [mm]\varphi_0[/mm] wäre z.B. [mm]\varphi_0=-\frac{\pi}{4}[/mm]. Vielleicht suchst Du aufgrund dieses Hinweises eine Testfolge [mm](x_n,y_n)\rightarrow (0,0)[/mm] die Dir einen Limes [mm]\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n,y_n)\neq 0[/mm] liefert.
Beispiel:
[mm]x_n := \frac{\cos\big(-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{n}\big)}{n}, y_n := \frac{\sin\big(-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{n}\big)}{n} \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n,y_n)=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \neq 0[/mm]
> Habe folgende Ansätze, würde gerne wissen ob das so klappen
> könnte oder ob die schonmal komplett falsch sind
>
> a) [mm]X_0=(0,0) \not\in[/mm] D(U) ist Häufungspunkt von D(U)
> Behauptung: An dieser Stelle hat f den Grenzwert c = 0
>
> Für [mm](x_k,y_k)\to(0,0)[/mm] gilt:
> Für jede Folge [mm](X_k),[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]X_k=(x_k,y_k) \in[/mm]
> D(U), [mm](x_k,y_k) \not\in[/mm] (0,0), [mm]\lim_{k \to \infty}(x_k,y_k)[/mm]
> = (0,0) gilt
> [mm]|f(x_k,y_k)[/mm] - c| = [mm]|(x_k^2+y_k^2)/(x_k+y_k)[/mm] - 0| => ab
> hier Abschätzung, dass der Term 0 ergibt
Würde dies nicht gerade das Gegenteil der Behauptung b) beweisen?
>
> b) Betrachtung spezieller Folgen, zB [mm](X_k)[/mm] = [mm](x_k,[/mm] 0) k [mm]\in \IN[/mm]
> mit [mm]\lim_{k \to \infty}(x_k,0)=(0,0)[/mm] und [mm](X_k)[/mm] = (0, [mm]y_k)[/mm] k
> [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]\lim_{k \to \infty}(0,y_k)=(0,0)[/mm] und zeigen,
> dass die Grenzwerte verschieden sind?
Nein, dies geht eben gerade nicht, weil ja die Teilbehauptung a) gilt. Denn solche Folgen [mm](x_n,0)\rightarrow (0,0)[/mm] und [mm](0,y_n)\rightarrow (0,0)[/mm] sind ja nur Spezialfälle eines Limes [mm]\lambda\cdot u\rightarrow (0,0)[/mm] für [mm]u := (1,0)[/mm] bzw. [mm]u := (0,1)[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:08 Fr 29.06.2007 | | Autor: | HoaX |
Vielen Dank für Deine Antwort, hatte ziemlich im Trüben gefischt.
Ganz klar ist es mir leider noch nicht geworden. Den Unterschied zwischen a) und b) verstehe ich jetzt, aber wie kann ich a) denn nun beweisen?
Und b) widerlege ich, indem ich zwei verschiedene Folgen suche, die für [mm] u\to(0,0) [/mm] zwei unterschiedliche Grenzwerte haben, oder?
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> Vielen Dank für Deine Antwort, hatte ziemlich im Trüben
> gefischt.
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> Ganz klar ist es mir leider noch nicht geworden. Den
> Unterschied zwischen a) und b) verstehe ich jetzt, aber wie
> kann ich a) denn nun beweisen?
> Und b) widerlege ich, indem ich zwei verschiedene Folgen
> suche, die für [mm]u\to(0,0)[/mm] zwei unterschiedliche Grenzwerte
> haben, oder?
Ja. Eine Folge [mm](x_n,y_n)[/mm] mit [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n,y_n) \neq 0[/mm] habe ich oben schon angegeben. Eine zweite Folge [mm](x_n',y_n')[/mm] mit [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n',y_n') = 0[/mm] erhältst Du aus Deiner Antwort auf a).
Um a) zu beweisen kannst Du über die Darstellung in Polarkoordinaten [mm]x:= r\cos(\varphi), y := r\sin(\varphi)[/mm] (wobei [mm]\varphi[/mm] konstant mit [mm]\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\neq 0[/mm]) argmentieren (für andere [mm]\varphi[/mm] ist [mm]f(x,y)[/mm] gar nicht definiert):
[mm]\lim_{\lambda \rightarrow 0} f(\lambda u)
= \lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^2}{r\cos(\varphi)+r\sin(\varphi)}= \lim_{r\rightarrow 0}\frac{r}{\cos(\varphi)+\sin(\varphi)} = 0[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Fr 29.06.2007 | | Autor: | HoaX |
Leuchtet mir ein, vielen Dank!
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