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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Di 23.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Grenzwerte für f(x) = [mm] (2x^2-8)/((x-2)*(x+3)) [/mm] und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten an. |
Ok, also erstmal die Definitionsmenge: Df = / {2;-3}
Soviel ich weiss sind ja Polstellen = senkrechte Asymptoten.
Die Senkrechten Asymptoten sind also x = 2 und x = -3
Nun soll ich die Grenzwerte berechnen, also erstmal für x --> [mm] \infty
[/mm]
Also habe ich die Funktion gekürzt da ja:
(2*(x-2)*(x+2))/((x-2)*(x+3))
x-2 kann ich also streichen
(2*x+2)/x+3
Dann ergänzen mit dem Kehrwert von x:
(2*x/x + 4/x) / (x/x*3/x)
ergibt dann:
(2+4/x)/(1+3/x)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] = 2/1 der Grenzwert ist also 2 und somit die Waagerechte Asymptote = y = 2.
Dann hab ich das Verhalten an den Definitionslücken untersucht:
zuerst mit x = 2
(2+4/x)/(1+3/x)
[mm] \limes_{x\rightarrow\2} [/mm] = (2+4/2)/(1+3/2) = 4/2.5 = 8/5
Der Grenzwert ist 8/5.
Nun wollte ich noch mit x = -3 einen Grenzwert suchen:
(2+4/x)/(1+3/x)
[mm] \limes_{x\rightarrow\-3} [/mm] = (2-4/3)/(1-3/3) = (2/3)/(0)
Durch 0 darf man aber nicht teilen. Gibt es hier keinen Grenzwert oder was habe ich falsch gerechnet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Di 23.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Grenzwerte für f(x) =
> [mm](2x^2-8)/((x-2)*(x+3))[/mm] und geben Sie die Gleichungen der
> Asymptoten an.
> Ok, also erstmal die Definitionsmenge: Df = / {2;-3}
>
> Soviel ich weiss sind ja Polstellen = senkrechte
> Asymptoten.
>
> Die Senkrechten Asymptoten sind also x = 2 und x = -3
Bei 2 ist keine senkrect´hte Asymptote. Unten hast Du selbst geschrieben:
$f(x) = 2*(x+2)/(x+3 )$
>
> Nun soll ich die Grenzwerte berechnen, also erstmal für x
> --> [mm]\infty[/mm]
>
> Also habe ich die Funktion gekürzt da ja:
>
> (2*(x-2)*(x+2))/((x-2)*(x+3))
>
> x-2 kann ich also streichen
>
>
> (2*x+2)/x+3
Klammer vergessen: (2*(x+2)/(x+3)
>
> Dann ergänzen mit dem Kehrwert von x:
>
> (2*x/x + 4/x) / (x/x*3/x)
>
> ergibt dann:
>
> (2+4/x)/(1+3/x)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] = 2/1 der Grenzwert ist also 2
> und somit die Waagerechte Asymptote = y = 2.
Korrekt
>
> Dann hab ich das Verhalten an den Definitionslücken
> untersucht:
>
> zuerst mit x = 2
>
> (2+4/x)/(1+3/x)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\2}[/mm] = (2+4/2)/(1+3/2) = 4/2.5 = 8/5
>
> Der Grenzwert ist 8/5.
Korrekt
>
> Nun wollte ich noch mit x = -3 einen Grenzwert suchen:
>
> (2+4/x)/(1+3/x)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-3}[/mm] = (2-4/3)/(1-3/3) = (2/3)/(0)
>
> Durch 0 darf man aber nicht teilen. Gibt es hier keinen
> Grenzwert oder was habe ich falsch gerechnet?
[mm]\limes_{x\rightarrow-3-}f(x) = \infty [/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow-3+}f(x) = -\infty [/mm]
FRED
>
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Hallo Marius6d,
> Berechnen Sie die Grenzwerte für f(x) =
> [mm](2x^2-8)/((x-2)*(x+3))[/mm] und geben Sie die Gleichungen der
> Asymptoten an.
> Ok, also erstmal die Definitionsmenge: Df = / {2;-3}
Du solltest dir für die zukünftigen Aufgaben die mathematisch korrekten Schreibweisen zunutze machen, der Formeleditor unterstützt dich dabei; die wichtigsten Formeln findest du (zum Kopieren) unter dem Eingabe/Schreibfeld.
[mm] $$D_f=R\backslash\{2;-3\}$$
[/mm]
>
> Soviel ich weiss sind ja Polstellen = senkrechte
> Asymptoten.
>
> Die Senkrechten Asymptoten sind also x = 2 und x = -3 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
zunächst solltest du den Term - für [mm] $x\in [/mm] D $ analysieren und kürzen:
[mm] f(x)=\bruch{2x^2-8}{(x-2)(x+3)}=\bruch{2(x^2-4)}{(x-2)(x+3)}=\bruch{2(x+2)(x-2)}{(x-2)(x+3)}
[/mm]
jetzt erkennst du, dass Zähler und Nenner eine gemeinsame Nullstelle (= hebbare  Definitionslücke) haben.
[klick auf die Formeln, um zu sehen, wie man sie schreibt...]
>
> Nun soll ich die Grenzwerte berechnen, also erstmal für x
> --> [mm]\infty[/mm]
>
> Also habe ich die Funktion gekürzt da ja:
>
> (2*(x-2)*(x+2))/((x-2)*(x+3))
>
> x-2 kann ich also streichen
nein, nicht streichen, sondern kürzen!
>
>
> (2*x+2)/x+3
wenn du fortlaufend schreibst, erkennst du deine (Schreib-)Fehler bestimmt auch selbst...
[mm] \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}{\bruch{2(x+2)(x-2)}{(x-2)(x+3)}}=\lim_{x\to\infty}\bruch{2x+4}{(x+3)} [/mm] (*)
[mm] =\lim_{x\to\infty}\bruch{2+4/x}{1+3/x}
[/mm]
>
> Dann ergänzen mit dem Kehrwert von x:
>
> (2*x/x + 4/x) / (x/x*3/x)
>
> ergibt dann:
>
> (2+4/x)/(1+3/x)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] = 2/1 der Grenzwert ist also 2
> und somit die Waagerechte Asymptote = y = 2.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Dann hab ich das Verhalten an den Definitionslücken
> untersucht:
>
> zuerst mit x = 2
>
> (2+4/x)/(1+3/x)
einfacher mit diesem Term: (*)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\2}[/mm] = (2+4/2)/(1+3/2) = 4/2.5 = 8/5
>
> Der Grenzwert ist 8/5. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun wollte ich noch mit x = -3 einen Grenzwert suchen:
>
> (2+4/x)/(1+3/x)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\-3}[/mm] = (2-4/3)/(1-3/3) = (2/3)/(0)
>
> Durch 0 darf man aber nicht teilen. Gibt es hier keinen
> Grenzwert oder was habe ich falsch gerechnet?
>
nein, da bei x=3 eine "echte" Definitionslücke vorliegt, konntest du kein anderes "Ergebnis" bekommen.
Jetzt ist wieder Grenzwertbetrachtung angesagt:
einmal von links: [mm] \lim_{x\to-3_-}f(x)
[/mm]
einmal von rechts: [mm] \lim_{x\to-3_+}f(x)
[/mm]
da eine "einfache" Definitionslücke vorliegt, weiß man schon, dass es eine Def.lücke mit Vorzeichenwechsel ist.
Das kannst du schon durch einfaches Ausrechnen abschätzen: setze einmal x=-3,1 und einmal -2,9 ein und erkenne, wie der Hase läuft.
Gruß informix
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