Grenzwertberechnung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 So 26.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
| Aufgabe | [mm] \bruch{3n+2}{2n^2+1} [/mm]
Berechne den Grenzwert! [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{50} [/mm] |
also die Formel für die Grenzwertberechnung ist ja [mm] |a_{n} [/mm] - [mm] \alpha [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
ich habe [mm] \alpha [/mm] so berechnet: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n + 2}{2n^2 + 1} [/mm] => [mm] \alpha= \bruch{1}{2}
[/mm]
jetzt rechne ich mir die Formel aus indem ich einsetze:
bis hier hin komme ich aber dann weiß ich nicht weiter:
| [mm] \bruch{6n +4 - 2n^2 -1}{2n^2 + 1} [/mm] | < [mm] \bruch{1}{50}
[/mm]
kann mir da jemand weiterhelfen?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 So 26.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
Wie bist Du auf den vermeintlichen Grenzwert [mm] $\alpha [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] gekommen? Dieser stimmt nämlich nicht für die genannte Folge.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 So 26.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
Also ich hab mir [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ [mm] \bruch{3n+2}{2n^2+1} [/mm] $ berechnet:
[mm] \bruch{\bruch{3n}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{2}}}{\bruch{2n^{2}}{n^{2}}+\bruch{1}{n^{2}}}
[/mm]
hab da einen fehler bemerkt und komm jetzt auf [mm] \alpha [/mm] = 0
wenn ich jetzt einsetzte bekomm ich:
| [mm] \bruch{3n+2}{2n^2+1} [/mm] - 0 | < [mm] \bruch{1}{50}
[/mm]
aber jetzt weiß ich nicht weiter!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 So 26.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
> hab da einen fehler bemerkt und komm jetzt auf [mm]\alpha[/mm] = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wenn ich jetzt einsetzte bekomm ich:
>
> | [mm]\bruch{3n+2}{2n^2+1}[/mm] - 0 | < [mm]\bruch{1}{50}[/mm]
Da von dem Bruch sowohl Zähler als auch Nenner positiv sind, kannst Du die Betragsstriche auch weglassen.
Multipliziere die Ungleichung anschließend mit [mm] $50*\left(2n^2+1\right)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 So 26.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
also ich hab das mal so verstanden:
50* (3n+2) < [mm] 2n^2 [/mm] +1
150n + 100 < [mm] 2n^2 [/mm] +1
99 < [mm] 2n^2 [/mm] -150
stimmt das? bzw. wie komm ich da jetzt weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 So 26.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
oh hoppla da hab ich das n vergessen zum hinschreiben!
also nochmal ab der Zeile und dann gleich weiter!
99 < 2 [mm] n^2 [/mm] -150n
0 < 2 [mm] n^2 [/mm] -150n - 99
0 < [mm] n^2 [/mm] - 75n - 49,5
p = -75
q = -49,5
das hab ich dann ich in die Formel eingesetzt und komm dann auf
[mm] x_{1}= [/mm] 75,65
[mm] x_{2}= [/mm] - 0,65
Die Lösung wäre also: "Ab dem 76sten Glied liegen alle Glieder der Folge in der [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung [mm] \bruch{1}{50} [/mm] um den Grenzwert [mm] \alpha [/mm] = 0
Kann das so stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 So 26.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist richtig, du solltest aber trotzdem lernen abzuschaetzen, wie das schachzipus gezeigt hat, das geht schneller, und man verrechnet sich viel weniger.
Man muss wirklich nicht das kleinste n angeben, ab dem der Wert kleiner [mm] \epsilon [/mm] ist, sondern nur irgendein n ab dem es garantiert kleiner ist!
alo ob du n=76 oder auf dem einfacheren Weg n=100 hast oder sogar n=1000 ist egal, solange du garantieren kannst, dass dann die Folgenglieder kleiner 1/50 sind.
Gruss leduart
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Hallo Laura,
> Also ich hab mir [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm]\bruch{3n+2}{2n^2+1}[/mm] berechnet:
>
> [mm]\bruch{\bruch{3n}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{2}}}{\bruch{2n^{2}}{n^{2}}+\bruch{1}{n^{2}}}[/mm]
>
> hab da einen fehler bemerkt und komm jetzt auf [mm]\alpha[/mm] = 0
>
> wenn ich jetzt einsetzte bekomm ich:
>
> | [mm]\bruch{3n+2}{2n^2+1}[/mm] - 0 | < [mm]\bruch{1}{50}[/mm]
>
> aber jetzt weiß ich nicht weiter!
Du kannst dir das Leben auch ruhig vereinfachen 
Man ist ja (meist) nicht an dem kleinsten [mm]n(\varepsilon)[/mm] interessiert, sondern an "irgendeinem", das es tut.
Um den positiven Bruch zu vergrößern, kannst du den Zähler verkleinern und/oder den Nenner verkleinern:
[mm]\frac{3n+2}{2n^2+1} \ \le \ \frac{3n+n}{2n^2} \ = \ \frac{4n}{2n^2} \ = \ \frac{2}{n}[/mm]
Und [mm]\frac{2}{n} \ < \ \frac{1}{50}[/mm] ist doch viel schneller gelöst als die andere Ungleichung...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 So 26.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
Danke aber irgendwie blick ich das nicht! Aber mir wäres am liebsten wenn ich das irgendwie auf normalen Weg lösen könnte.
Aber trotzdem danke nochmal!
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Hallo nochmal,
das ist üblicherweise der "normale" Weg.
Warum sollte man es sich schwierig(er) machen, wenn's auch einfach(er) geht ...
Aber beides geht natürlich!
Gruß
schachuzipus
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p/q-Formel