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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Mi 29.12.2010 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
a.) [mm] \limes_{x\rightarrow0}x*cot(x)
[/mm]
b.) [mm] \limes_{x\downarrow \bruch{\pi}{2}}(tan(x)+ \bruch{1}{x-\bruch{\pi}{2}})
[/mm]
c.) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)+2x}{cos(x)+2x}
[/mm]
d.) [mm] \limes_{x\uparrow 0}\bruch{x-cos(x)}{x+sin(x)} [/mm] |
Hallo zusammen,
bin grad in der Klausurvorbereitung und Grenzwerte sind bisher noch nicht meine Freunde geworden.
HAbe mich mal an oben stehenden versucht und wäre sehr erfreut, wenn mal jemand drüberschauen und mir sagen könnte, ob das alles so geht, was ich da mache 
Zunächst habe ich folgendes zur a.) und c.) heraus bekommen:
zu a.)
[mm] \limes_{x\rightarrow0}x*cot(x)= \limes_{x\rightarrow0}x*\bruch{cos(x)}{sin(x)}
[/mm]
Wegen [mm] \limes_{x\rightarrow0}x*cos(x)=0 [/mm] und
[mm] \limes_{x\rightarrow0}sin(x)=0 [/mm] darf der Satz von l'Hospital angewendet werden.
Also
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{x*cos(x)}{sin(x)}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{cos(x)-x*sin(x)}{cos(x)}
[/mm]
= 1
zu c.)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)+2x}{cos(x)+2x}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{cos(x)+2x}+ \bruch{2x}{cos(x)+2x}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{cos(x)+2x}+ \bruch{1}{\bruch{cos(x)}{2x}+1}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{cos(x)+2x}+\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{\bruch{cos(x)}{2x}+1}
[/mm]
= 0 + 1 = 1
Über jede Hilfe bin ich sehr dankbar!
Liebe Grüße
LuisA44
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Hallo LuisA!
Das kann man so machen wie Du. Etwas einfacher geht es, wenn man den bekannten(?) Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] \ = \ 1$ verwendet:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0}x*\cot(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\bruch{\cos(x)}{\sin(x)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\cos(x)*\bruch{x}{\sin(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow 0}\cos(x)}{\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x}} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mi 29.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
c) ist zwar richtig, aber di 2 einzelnen GW hast du ja nicht begründet. deshalb kann man wegen der Beschränktheit von sinx und cosx die du für die begründung brauchst auch gleich den GW. 1 hinschreiben und begründen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Do 30.12.2010 | | Autor: | LuisA44 |
Hi,
vielen Dank für eure Antworten. Dann werde ich mal versuchen bei der anderen Aufgaben weiterzukommen...die fallen mir etwas schwerer. Bis dahin...
Liebe Grüße
LuisA44
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> Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
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> a.) [mm]\limes_{x\rightarrow0}x*cot(x)[/mm]
Richtig, geht einfach mit L'Hospital (wie geschehen).
>
> b.) [mm]\limes_{x\downarrow \bruch{\pi}{2}}(tan(x)+ \bruch{1}{x-\bruch{\pi}{2}})[/mm]
>
Hier kannst du x - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ausklammern, bei einem Teilterm musst du dann wieder L'Hospital benutzen, der Rest ist sofort erledigt. Allerdings bist du dann nicht fertig, sondern hast wieder die Voraussetzungen von L'Hospital auf den kompletten Bruch, die Ableitung ist dann zwar nicht schön, führt aber zum Ziel 0 .
> c.)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)+2x}{cos(x)+2x}[/mm]
Hier kannst du einfach x ausklammern, dann sieht man den angesprochenen Nutzen der Beschränktheit von Sin/Cos ganz gut.
>
> d.) [mm]\limes_{x\uparrow 0}\bruch{x-cos(x)}{x+sin(x)}[/mm]
Hier kannst du auch wieder ein x ausklammern, dann steht irgendwo in dem Term noch [mm] \bruch{sin(x)}{x}, [/mm] dessen Grenzwert du wieder per L'Hospital bestimmen kannst. Dann stehen lauter beschränkte Teile drin außer einem - und der haut ganz schön ab, d.h. der Grenzwert existiert nicht.
> Hallo
> zusammen,
>
> bin grad in der Klausurvorbereitung und Grenzwerte sind
> bisher noch nicht meine Freunde geworden.
Jetzt kuschelt ihr bestimmt schon miteinander .
> Über jede Hilfe bin ich sehr dankbar!
>
> Liebe Grüße
> LuisA44
>
lg weightgainer
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