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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\ + infty} [/mm] ( [mm] \wurzel[]{x + \wurzel[]{x}} [/mm] ) - ( [mm] \wurzel[]{x - \wurzel[]{x}} [/mm] ). |
Hey =)
also ich komm bei der Aufgabe grad nicht weiter, könntet ihr mir vielleicht helfen? ich kann ja mal aufschreiben, was ich bisher versucht habe :
( [mm] \wurzel[]{x + \wurzel[]{x}} [/mm] ) - ( [mm] \wurzel[]{x - \wurzel[]{x}} [/mm] )
= (x + [mm] \wurzel[]{x} )^{\bruch{1}{2}} [/mm] - (x - [mm] \wurzel[]{x} )^{\bruch{1}{2}} [/mm]
= (x + [mm] x^\bruch{1}{2} )^\bruch{1}{2} [/mm] - (x - [mm] x^\bruch{1}{2} )^\bruch{1}{2}
[/mm]
= (x + [mm] x\bruch{1}{2}) [/mm] - (x - [mm] x\bruch{1}{2})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{(x + x^\bruch{1}{2} )^\bruch{-1}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(x - x^\bruch{1}{2} )^\bruch{-1}{2}
}
[/mm]
danach hab ich den term gleichnamig gemacht und umgeformt und alles mögliche versucht, aber ich komme irgendwie nicht weiter. ich weiß zwar, dass der term gegen 1 tendieren muss. aber irgendwie weiß ich halt auch nicht, wie man das jetzt schriftlich zeigt, dass es ein orgendlicher beweis ist. ich hab halt eine tabelle gemacht, um den grenzwert herauszufinden, aber sowas gilt dann halt nicht.
würde mich sehr über hilfe freuen :)
liebe grüße ...
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> Berechnen Sie den Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow\ + infty}[/mm]
> ( [mm]\wurzel[]{x + \wurzel[]{x}}[/mm] ) - ( [mm]\wurzel[]{x - \wurzel[]{x}}[/mm]
betrachte den ausdruck als a-b und erweitere ihn mit [mm] \frac{a+b}{a+b} [/mm] zu einem 3. binom im zähler
> ).
> Hey =)
> also ich komm bei der Aufgabe grad nicht weiter, könntet
> ihr mir vielleicht helfen? ich kann ja mal aufschreiben,
> was ich bisher versucht habe :
> ( [mm]\wurzel[]{x + \wurzel[]{x}}[/mm] ) - ( [mm]\wurzel[]{x - \wurzel[]{x}}[/mm]
> )
> = (x + [mm]\wurzel[]{x} )^{\bruch{1}{2}}[/mm] - (x - [mm]\wurzel[]{x} )^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> = (x + [mm]x^\bruch{1}{2} )^\bruch{1}{2}[/mm] - (x - [mm]x^\bruch{1}{2} )^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> = (x + [mm]x\bruch{1}{2})[/mm] - (x - [mm]x\bruch{1}{2})[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{(x + x^\bruch{1}{2} )^\bruch{-1}{2}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{(x - x^\bruch{1}{2} )^\bruch{-1}{2}
}[/mm]
>
> danach hab ich den term gleichnamig gemacht und umgeformt
> und alles mögliche versucht, aber ich komme irgendwie
> nicht weiter. ich weiß zwar, dass der term gegen 1
> tendieren muss. aber irgendwie weiß ich halt auch nicht,
> wie man das jetzt schriftlich zeigt, dass es ein
> orgendlicher beweis ist. ich hab halt eine tabelle gemacht,
> um den grenzwert herauszufinden, aber sowas gilt dann halt
> nicht.
> würde mich sehr über hilfe freuen :)
> liebe grüße ...
gruß tee
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Also das mit dem [mm] \bruch{a+b}{a+b} [/mm] hab ich gemacht. und das mit dem binom hab ich auch versucht, nur leider kam zum schluss nicht 1 raus. ich kann ja mal kurz zeigen, was ich gemacht habe:
also ich hab den term [mm] \wurzel[]{x + \wurzel[]{x}} [/mm] - [mm] \wurzel[]{x - \wurzel[]{x}} [/mm] mit
[mm] \bruch{\wurzel[]{x + \wurzel[]{x}} + \wurzel[]{x - \wurzel[]{x}}}{\wurzel[]{x + \wurzel[]{x}} + \wurzel[]{x - \wurzel[]{x}}}
[/mm]
multipliziert
und hab halt nun alles versucht, aber es kam nicht 1 raus.
danke für die hilfe :)
liebe grüße ...
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> Hallo =)
> Also das mit dem [mm]\bruch{a+b}{a+b}[/mm] hab ich gemacht. und das
> mit dem binom hab ich auch versucht, nur leider kam zum
> schluss nicht 1 raus. ich kann ja mal kurz zeigen, was ich
> gemacht habe:
>
> also ich hab den term [mm]\wurzel[]{x + \wurzel[]{x}}[/mm] -
> [mm]\wurzel[]{x - \wurzel[]{x}}[/mm] mit
> [mm]\bruch{\wurzel[]{x + \wurzel[]{x}} + \wurzel[]{x - \wurzel[]{x}}}{\wurzel[]{x + \wurzel[]{x}} + \wurzel[]{x - \wurzel[]{x}}}[/mm]
>
> multipliziert
>
> und hab halt nun alles versucht, aber es kam nicht 1 raus.
> danke für die hilfe :)
> liebe grüße ...
du hast ja irgendwann
[mm] \frac{2\sqrt{x}}{\wurzel{x + \wurzel{x}} + \wurzel{x - \wurzel{x}}}
[/mm]
jetzt im nenner noch [mm] \sqrt{x} [/mm] ausklammern und kürzen
gruß tee
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genau, dass hatte ich raus. Nur ich weiß jetzt nicht, wie ich das [mm] \wurzel[]{x} [/mm] ausklammern kann. hab versucht ein paar gesetze im internet zu finden, die mir da weiter helfen, aber es war nie das richtige dabei.
über weitere hilfe würde ich mich sehr freuen :)
liebe grüße...
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> Hallo =)
> genau, dass hatte ich raus. Nur ich weiß jetzt nicht, wie
> ich das [mm]\wurzel[]{x}[/mm] ausklammern kann. hab versucht ein
> paar gesetze im internet zu finden, die mir da weiter
> helfen, aber es war nie das richtige dabei.
> über weitere hilfe würde ich mich sehr freuen :)
> liebe grüße...
naja [mm] \sqrt{x+\sqrt{x}}=\sqrt{x(1+\frac{\sqrt{x}}{x})}=\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{\sqrt{x}}{x}}
[/mm]
und das ohne schwarze magie..
gruß tee
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danke :D ich habs gelöst. jetzt komm ich mir etwas blöd vor :) dann noch einen schönen abend und vielen vielen dank :)
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