Grenzwertberechnung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \limes_{x>0}_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x)}{x} [/mm] |
Guten Tag,
habe hier folgendes gemacht:
[mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{x^{2n}}{(2n+1)!} [/mm] = 1 + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{x^{2n}}{(2n+1)!} [/mm] < 1+ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^{2}* \bruch{|x|^{n}}{n!} [/mm] = 1 + [mm] x^{2}*e^{|x|}.
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] 1 + [mm] x^{2}*e^{|x|} [/mm] = 1. Also geht auch [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x)}{x} [/mm] gegen 1.
Stimmt das so?
LG Loriot95
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Hallo Loriot!
Dein Grenzwert ganz am Ende sowie die Idee mit dem Potenzreihenansatz sind okay und richtig.
Aber Deine Umformungen an sich erschließen sich mir nicht so ganz. Zumal Du hier auch den Term [mm] $x^{2n}$ [/mm] falsch zerlegst.
Der Grenzwert des Summenterms mit [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}...$ [/mm] lässt sich doch schnell erkennen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Loriot,
alternativ zu deinem sehr schönen Ansatz über die Potenzreihe des Sinus möchte ich als Ergänzung auf zwei weitere Möglichkeiten hinweisen:
1) de l'Hôpital (m.E. nicht sooo schön  )
2) m.E. sehr schön:
[mm]\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sin(x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sin(x)-0}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}[/mm]
Und das sollte dich aufhorchen lassen
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo schachuzipus!
Schöne Ansätze. Aber ich kann mir vorstellen, dass obiger Grenzwert gerade für die Ableitung des [mm]\sin(x)[/mm] gesucht und benötigt wird.
Damit würde man sich im Kreis drehen.
Allerdings gibt es auch noch einen geometrischen Ansatz, wie man z.B. hier lesen kann.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank an euch. ;)
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