Grenzwertberechnung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Do 20.12.2012 | | Autor: | Giom |
| Aufgabe | | lim x->1 x2-2x+1/x3-1 |
Hallo,
Mein Kopf ist schon ganz schön am rauchen. Ich hoffe einer von euch kann mir weiter helfen. Diese Aufgabe sollte ich OHNE L'Hospital lösen und komme nicht weiter. Nach der 3ten Ableitung mit L'Hospital komme ich auf 2/6. Leider weiss ich nicht wie ich den Grenzwert ohne L´Hopsital berechnen soll. Setze ich 1 ein kommt 0 heraus und ich nehme mal an dass das nicht das Endergebnis ist.
Kann mir jemand sagen was ich da machen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Do 20.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du meinst wahrscheinlich
[mm] \bruch{x^{2}-2x+1}{x^{3}-1}
[/mm]
Deine Notation x²-2x+1/x³-1 würde
[mm] x^2-2x-\frac{1}{x^{3}}-1 [/mm] bedeuten.
Der Grenzwert ist hier nicht [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
Nach dem erstmaligen Anwenden des L'Hospital bekämst du:
[mm] \bruch{2x-2}{3x^{2}}
[/mm]
Für ein zweites Anwenden des Hospital fehlen die Voraussetzungen, da du hier aber direkt 1 einetzen könntest, ist das aber auch nicht schlimm.
Was du machen kannst, ist die folgende Umformung:
[mm] \bruch{x^{2}-2x+1}{x^{3}-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x-1)^{2}}{(x-1)(x^{2}+x+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{x-1}{x^{2}+x+1}
[/mm]
Auch hier kannst du direkt x=1 einsetzen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Do 20.12.2012 | | Autor: | Giom |
Hallo Marius,
Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Also würde ich dann, wenn ich nun 1 einsetze 0/3 bekommen. D.h. also der Grenzwert ist nicht definiert, bzw. 0? Wäre das dann die korrekte Antwort?
Abgesehen von der Frage oben, warum kann ich denn nicht noch weiter ableiten? Du meintest es fehlen die Voraussetzungen. Wäre die 2te Ableitung nach l'Hospital nicht 2/6x? Und 1 eingesetzt würde 2/6 bzw 1/3 ergeben?
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Do 20.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Marius,
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> Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Also würde ich
> dann, wenn ich nun 1 einsetze 0/3 bekommen. D.h. also der
> Grenzwert ist nicht definiert, bzw. 0? Wäre das dann die
> korrekte Antwort?
Der Grenzwert ist [mm] \frac{0}{3}=0
[/mm]
>
> Abgesehen von der Frage oben, warum kann ich denn nicht
> noch weiter ableiten? Du meintest es fehlen die
> Voraussetzungen. Wäre die 2te Ableitung nach l'Hospital
> nicht 2/6x? Und 1 eingesetzt würde 2/6 bzw 1/3 ergeben?
Nach der ersten Anwendung des L'Hospital hast du
[mm] $\lim\limits_{x\to1} \bruch{2x-2}{3x^{2}} [/mm] $
Nun hast du aber den "Zählergrenzwert" 0 und den "Nennergrenzwert" 1, also nicht mehr die Voraussetzungen
"0/0" oder [mm] "$\infty/\infty$".
[/mm]
Marius
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