Grenzwertberechnung vom Wurzel < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man bestimme die folgenden Funktionsgrenzwerte (ohne die Regeln der de l´Hospital)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} 2x-\wurzel{(4x^2-x)}
[/mm]
Lösung:
1. Zwischenschritt
[mm] \bruch{5x(9x^2+2-9x^2)}{3x+(9x^2+2)^(1/2)}
[/mm]
2. Zwischenschritt
[mm] \bruch{10}{3+\wurzel{(9+2/x^2)}}
[/mm]
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Guten Morgen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich verstehe nicht wie man mittels Umformen vom Ausgang zum 1. Zwischenschritt kommt.
Das ist alles.
Ausserdem habe ich es auch mit l´Hospital probiert und es ging nicht.
herzlichen Dank für die Hilfe.
Sascha Fleischer
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Hallo Sascha,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Dieser angegebene Lösungsschritt erschließt sich mir überhaupt nicht ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") .
Aber Du kommst hier weiter, wenn Du den Ausdruck mit dem Term [mm] $\left( \ 2x \ \red{+} \ \wurzel{4x^2-x} \ \right)$ [/mm] zu einer 3. binomischen Formel im Zähler erweiterst und dann zusammenfasst.
Anschließend im Nenner $x_$ ausklammern, kürzen und die Grenzwertbetrachtung.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:11 Di 06.02.2007 | | Autor: | freierfall |
Danke für die sehr schnelle Anwort,
ich werde mir das nun an der Uni einarbeiten und heute abend schreiben ob ich es verstanden haben.
herzlich
Sascha Fleischer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:16 Di 06.02.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Sascha!
Zur Kontrolle: Du solltest am Ende den Grenzwert [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] erhalten.
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | Ich habe es so verstanden
[mm] \bruch{ \left( \ 2x \ \ - \ \wurzel{4x^2-x} \ \right)\ \left( \ 2x \ \ + \ \wurzel{4x^2-x} \ \right)^{3} }{ \left( \ 2x \ \ + \ \wurzel{4x^2-x} \ \right)^{3} } [/mm] |
Guten Morgen,
Ich habe es durchgerechnet, aber ich kam nicht auf 1/4.
War das so gemeint?
herzlichen Dank
Sascha
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> Ich habe es so verstanden
> [mm]\bruch{ \left( \ 2x \ \ - \ \wurzel{4x^2-x} \ \right)\ \left( \ 2x \ \ + \ \wurzel{4x^2-x} \ \right)^{3} }{ \left( \ 2x \ \ + \ \wurzel{4x^2-x} \ \right)^{3} }[/mm]
> Guten Morgen,
>
> Ich habe es durchgerechnet, aber ich kam nicht auf 1/4.
>
> War das so gemeint?
Hallo,
was ist denn die 3.binomische Formel???
Die hat doch mit "hoch 3" nichts zu tun...
Sondern: [mm] (a+b)(a-b)=a^2 [/mm] - [mm] b^2.
[/mm]
Berechne nun den Grenzwert hiervon:
[mm] \bruch{ \left( \ 2x \ \ - \ \wurzel{4x^2-x} \ \right)\ \left( \ 2x \ \ + \ \wurzel{4x^2-x} \ \right) }{ \left( \ 2x \ \ + \ \wurzel{4x^2-x} \ \right) }
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 So 12.01.2014 | | Autor: | jannny |
| Aufgabe 1 | Hallo, ich habe zu dieser Aufgabe auch noch eine Frage:
also das mit der binomischen Formel ist klar, leider verstehe ich nicht wie man im Zähler auf das x kommt?
im Zähler komme ich lediglich auf:
[mm] (2x)^2 [/mm] - [mm] (4x^2-x)^2 [/mm] daraus entsteht dann: [mm] 4x^2-(4x^4-x^2) [/mm] was vermutlich falsch ist!
lg janny |
| Aufgabe 2 | Man bestimme die folgenden Funktionsgrenzwerte (ohne die Regeln der de l´Hospital)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{(4x^2-x)} [/mm] |
Hallo,
bitte helft mir bei dieser Aufgabe.
Es ist mir klar, dass ich den Zähler mit dem dritten Binom erweitern muss, leider weiß ich dann nicht mehr weiter.
[mm] (2x-\wurzel{(4x^2-x)}(2x+\Wurzel{(4x^2-x)} [/mm] / [mm] 2x+\Wurzel{(4x^2-x)}
[/mm]
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> Hallo, ich habe zu dieser Aufgabe auch noch eine Frage:
Hallo,
wenn Du mal genau sagen würdest, welche Aufgabe Du meinst, wäre das hilfreich.
Nach fast 7 Jahren hab' ich das nicht mehr so im Kopf...
Es geht um [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (2x-\wurzel{(4x^2-x)} [/mm] )?
Erweitere so, daß Du oben die 3.binomische Formel hast, also
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (2x-\wurzel{(4x^2-x)} )=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{(2x-\wurzel{(4x^2-x)} )*(2x+\wurzel{(4x^2-x)} )}{(2x+\wurzel{(4x^2-x)} )}=???
[/mm]
Ich glaube, Du hast die Wurzel nicht beachtet.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 So 12.01.2014 | | Autor: | jannny |
Hallo, mir ist nicht klar was ich da zu beachten habe.
Auf welche Regeln muss man da den achten, dass man auf das x im Zähler kommt?
Liebe Grüße
Janny
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> Hallo, mir ist nicht klar was ich da zu beachten habe.
> Auf welche Regeln muss man da den achten, dass man auf das
> x im Zähler kommt?
Hallo,
auf die normalen Rechenregeln.
Rechne doch mal vor.
Wie geht dann die dritte binomische Formel?
Was hast Du dastehen, wenn Du sie verwendest?
LG Angela
>
> Liebe Grüße
> Janny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 So 12.01.2014 | | Autor: | jannny |
Das habe ich in meiner Frage geschrieben, ich bin durch die binomische Formel auf diese Ergebnisse im Zähler
gekommen.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 So 12.01.2014 | | Autor: | jannny |
Das habe ich in meiner Frage geschrieben, ich bin durch die binomische Formel auf diese Ergebnisse im Zähler
gekommen.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 So 12.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
es macht keinen Sinn, einen Beitrag zweimal hintereinander zu posten. Dein Beitrag
> Das habe ich in meiner Frage geschrieben, ich bin durch die
> binomische Formel auf diese Ergebnisse im Zähler
> gekommen.
enthält keine Frage. Wenn du eine weitere Frage hast, dann formuliere dies so, dass es nachvollziehbar ist. Ansonsten warte bitte ab, bis jemand auf deinen Hinweis reagiert.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 So 12.01.2014 | | Autor: | jannny |
Dann nochmal Zusammenfassend meine Frage: Es ist mir nicht klar wie man auf das x im Zähler kommt!
Warum gibt:
[mm] (2x-\wurzel{(4x^2-x)})*(2x+\wurzel{4x^2-x})
[/mm]
= x ???
Ich komme auf
[mm] (2x)^2-(4x^2-x)^2 [/mm] ...was vermutlich quatsch ist, leider ist mir nicht klar wie es anderst gehen soll.
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Hallo jannny,
Du unterschlägst die Wurzel.
Die dritte binomische Formel lautet: [mm] (a+b)(a-b)=a^2-b^2
[/mm]
> Warum gibt:
> [mm](2x-\wurzel{(4x^2-x)})*(2x+\wurzel{4x^2-x})[/mm]
>
> = x ???
Hier ist $a=2x$ und [mm] b=\wurzel{4x^2-x}.
[/mm]
> Ich komme auf
> [mm](2x)^2-(4x^2-x)^2[/mm] ...was vermutlich quatsch ist, leider ist
> mir nicht klar wie es anderst gehen soll.
Du müsstest kommen auf [mm] (2x)^2-\wurzel{4x^2-x}^2
[/mm]
Dann klappts auch.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 So 12.01.2014 | | Autor: | jannny |
Danke, jetzt ist alles ganz klar. :))))
lg Jannny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 12.01.2014 | | Autor: | jannny |
mmmm ist mir ja jetzt fast schon peinlich, habe aber doch noch eine kleine Frage dazu :)
also das mit [mm] (2x)^2-\wurzel{(4x^2-x)}^2 [/mm] ist klar
dann im nächsten Schritt ergibt das ja:
[mm] 4x^2-4x^2-x
[/mm]
die 4x sind raus und es bleibt stehen -x, das Minus darf nicht sein es soll ja nur x rauskommen, was ist den jetzt nur wieder falsch??
lg jannny
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Hallo nochmal,
was man spricht und was man schreibt, ist nicht immer das gleiche...
Du hast Klammern vergessen.
> mmmm ist mir ja jetzt fast schon peinlich, habe aber doch
> noch eine kleine Frage dazu :)
>
> also das mit [mm](2x)^2-\wurzel{(4x^2-x)}^2[/mm] ist klar
>
> dann im nächsten Schritt ergibt das ja:
>
> [mm]4x^2-4x^2-x[/mm]
Nein, es ergibt [mm] 4x^2-(4x^2-x).
[/mm]
> die 4x sind raus und es bleibt stehen -x, das Minus darf
> nicht sein es soll ja nur x rauskommen, was ist den jetzt
> nur wieder falsch??
Rechne jetzt nochmal nach.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 So 12.01.2014 | | Autor: | jannny |
Danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Mi 07.02.2007 | | Autor: | freierfall |
Guten Abend,
Danke, ich freue mich sehr, jetzt habe ich es verstanden.
herzliche Grüsse
Sascha
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Hallo,
ich bin auch gerade dabei Grenzwerte zu berechnen. Und da bin ich auf diese Aufgabe hier gestoßen. Ich habe da noch eine Frage zu.
Also das mit der binomischen Formel ist ja soweit klar. Und die Wurzel verschwindet ja dann auch im Zähler. Aber was passiert mit dem Nenner? Das müsste dann so aussehen:
[mm]\bruch{x}{(2x+\wurzel{4x^2-x})}[/mm]
Davon kann ich doch noch keinen Grenzwert bilden. Und ich kann doch auch nicht einfach den Zähler und Nenner durch X teilen, oder?
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> Das müsste dann so aussehen:
> [mm]\bruch{x}{(2x+\wurzel{4x^2-x})}[/mm]
> Davon kann ich doch noch keinen Grenzwert bilden. Und ich
> kann doch auch nicht einfach den Zähler und Nenner durch X
> teilen, oder?
Hallo,
doch.
Statt "einfach durch x teilen" nenn' es "mit [mm] \bruch{1}{x}" [/mm] erweitern. (Dieses "Teilen" ist Standard beim Berechnen von Grenzwerten. Kann man sehr oft gebrauchen.)
So kommst Du zum Ziel.
Gruß v. Angela
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Okay,
dann steht doch im Nenner [mm]\bruch{2x}{x}+\bruch{\wurzel{4x^2-x}}{x}[/mm]
Beim ersten Term kürzt sich das x raus und die 2 bleibt stehen. Und beim zweiten? Da kann ich doch nichts kürzen.
Ich hab gerade voll die Denkblockade.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Do 15.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Okay,
>
> dann steht doch im Nenner
> [mm]\bruch{2x}{x}+\bruch{\wurzel{4x^2-x}}{x}[/mm]
> Beim ersten Term kürzt sich das x raus und die 2 bleibt
> stehen. Und beim zweiten? Da kann ich doch nichts kürzen.
> Ich hab gerade voll die Denkblockade.
du kannst [mm] \bruch{1}{x} [/mm] unter die Wurzel ziehen:
[mm] \bruch{1}{x}*\wurzel{4x^2+x}=\wurzel{\bruch{1}{x^2}*(4x^2+x)}=....
[/mm]
dann der limes und du hast dein Ergebnis 
Liebe Grüße
Herby
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> Hallo,
>
> ich bin auch gerade dabei Grenzwerte zu berechnen. Und da
> bin ich auf diese Aufgabe hier gestoßen. Ich habe da noch
> eine Frage zu.
> Also das mit der binomischen Formel ist ja soweit klar.
> Und die Wurzel verschwindet ja dann auch im Zähler. Aber
> was passiert mit dem Nenner? Das müsste dann so aussehen:
> [mm]\bruch{x}{(2x+\wurzel{4x^2-x})}[/mm]
> Davon kann ich doch noch keinen Grenzwert bilden. Und ich
> kann doch auch nicht einfach den Zähler und Nenner durch X
> teilen, oder?
>
Hallo,
klammere unter der Wurzel [mm] 4x^2 [/mm] aus, also
[mm] \bruch{x}{2x+\wurzel{4x^2-x}}=\bruch{x}{2x+\wurzel{4x^2(1-\bruch{1}{4x})}}=\bruch{x}{2x+2x*\wurzel{1-\bruch{1}{4x}}} [/mm] [x ist ja >0, da [mm] \limes_{x\rightarrow +\infty} [/mm] betrachtet wird]
[mm] =\bruch{x}{2x(1+\wurzel{1-\bruch{1}{4x}})}=\bruch{1}{2(1+\wurzel{1-\bruch{1}{4x}})} \rightarrow \bruch{1}{2(1+1)}=\bruch{1}{4} [/mm] für [mm] x\rightarrow\infty
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Do 15.02.2007 | | Autor: | magic1980 |
Hey super, Danke. Wieder was dazu gelernt
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Ich habe glaube ich derzeit eine Denkblockade, wie würde denn der Grenzwert von [mm] \bruch{\wurzel{n^3 - 4}}{n^2+n+7} [/mm] aussehen? achhh
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Hallo mtu,
klammere doch mal in der Wurzel [mm] n^4 [/mm] aus:
[mm] $\frac{\sqrt{n^4(\frac{1}{n}-\frac{4}{n^4}})}{n^2(1+\frac{1}{n}+\frac{7}{n^2})}=\frac{n^2\sqrt{\frac{1}{n}-\frac{4}{n^4}}}{n^2(1+\frac{1}{n}+\frac{7}{n^2})}=\frac{\sqrt{\frac{1}{n}-\frac{4}{n^4}}}{1+\frac{1}{n}+\frac{7}{n^2}}\rightarrow \frac{0}{1}=0$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow\infty$
[/mm]
(Nennergrad größer als Zählergrad)
Gruß
schachuzipus
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Weil's in der Angabe steht:
Könnte man hier mit l'Hospital einfacher zum Ziel kommen? Ich denke nicht, zumal ein unbestimmter Ausdruck doch zumeist nur bei einer Mulitplikation oder Division besteht.
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Hallo mathe-tu-münchen!
Ja, es würde hier auch mit de l'Hospital funktionieren, da für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] der unbestimmte Ausdruck [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] entsteht. Ich halte den o.g. Weg allerdings für wesentlich leichter und eleganter ...
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{n^3-4}}{n^2+n+7} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{3n^2}{2\wurzel{n^3-4}}}{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3n^2}{2*(2n+1)*\wurzel{n^3-4}} [/mm] \ = \ ...$
Nun müsste man nochmal de l'Hospital anwenden ... Du siehst, de l'Hospital ist hier wesentlich umständlicher!
Gruß vom
Roadrunner
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sorry, ich habe die ursprüngliche frage mit dem term : [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} 2x-\wurzel{(4x^2-x)} [/mm] gemeint...
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Hallo mathe-tu-münchen!
Da hast Du Recht ... hier kann de l'Hospital nicht (sofort) angewandt werden ... höchstens im 2. Schritt nach dem Erweitern.
Gruß vom
Roadrunner
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