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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Do 20.10.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
ich möchte gerne zeigen,
dass [mm] $\lim_{\n\to\infty}\frac{e^{\sqrt{2x}}}{3^x}=0$.
[/mm]
Ich habs schon mit L`Hospital versucht,komme damit allerdings nicht weiter.
Hätte jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank!
LG
Fry
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HallO Fry,
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> Hallo zusammen,
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> ich möchte gerne zeigen,
> dass [mm]\lim_{\n\to\infty}\frac{e^{\sqrt{2x}}}{3^x}=0[/mm].
> Ich habs schon mit L'Hospital versucht,komme damit
> allerdings nicht weiter.
> Hätte jemand einen Tipp für mich?
Kannst du's nicht mittels Potenzgesetzen umschreiben in [mm]\frac{e^{\sqrt{2x}}}{3^x}=\frac{e^{\sqrt{2x}}}{e^{x\ln(3)}}=e^{\sqrt{2x}-x\ln(3)}[/mm]
und dann wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion [mm](\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}[/mm]) untersuchen, was der Exponent für [mm]x\to\infty[/mm] treibt?
>
> Vielen Dank!
> LG
> Fry
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Do 20.10.2011 | | Autor: | Fry |
[#000000]Hey schachuzipus,
vielen Dank! Habs darüber auch schon probiert, aber erfolgslos. Hab versucht zu zeigen, dass für gewisse x die Funktion streng monoton fallend und größer 0 ist. Dabei bin ich aber nicht weiter gekommen. Könntest du mir da nochmal nen Hinweis geben?
LG!
[/#000000]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Do 20.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Schachuzipus hatte Dir gezeigt:
$ [mm] \frac{e^{\sqrt{2x}}}{3^x}=\frac{e^{\sqrt{2x}}}{e^{x\ln(3)}}=e^{\sqrt{2x}-x\ln(3)} [/mm] $
Nun gilt doch: [mm] $g(x):=\sqrt{2x}-x\ln(3) \to -\infty$ [/mm] für $x [mm] \to \infty$
[/mm]
Was treibt dann [mm] e^{g(x)} [/mm] für $x [mm] \to \infty$ [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Do 20.10.2011 | | Autor: | Fry |
Hey Fred,
das ist mir klar, der Exponent geht gegen [mm] -\infty, [/mm] also der ganze Term gegen 0. Aber warum genau geht der Exponent gegen [mm] -\infty? [/mm] Schließlich strebt ja der Wurzelausdruck gegen [mm] \infty [/mm] und der lineare Ausdruck gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Also mal abgesehen von dem Argument, dass Wurzelausdrücke langsamer wachsen als Potenzfunktionen, wie könnte man das genau zeigen?
VG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Do 20.10.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Hey Fred,
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> das ist mir klar, der Exponent geht gegen [mm]-\infty,[/mm] also der
> ganze Term gegen 0. Aber warum genau geht der Exponent
> gegen [mm]-\infty?[/mm] Schließlich strebt ja der Wurzelausdruck
> gegen [mm]\infty[/mm] und der lineare Ausdruck gegen [mm]-\infty.[/mm]
> Also mal abgesehen von dem Argument, dass Wurzelausdrücke
> langsamer wachsen als Potenzfunktionen, wie könnte man das
> genau zeigen?
>
> VG
>
Für a,b >0 und x>0 kannst Du mit [mm] x=t^2 [/mm] schreiben:
[mm] $a\wurzel{x}-bx= at-bt^2$ \to -\infty [/mm] für t [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Do 20.10.2011 | | Autor: | Fry |
...und das gilt wegen [mm] $at-bt^2=t^2(\frac{a}{t}-b)\to -\infty$ [/mm] ,oder?
Ändert sich generell der Grenzwert nicht, wenn man die Variable durch eine andere substituiert, die das dasselbe Grenzverhalten aufweist?
Gibts dafür nen Beweis?
Vielen Dank nochmal ! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Do 20.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie die variable heisst ist doch egal, klar muss sein dass mit [mm] t^2 [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] auch t gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Do 20.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart,
> wie die variable heisst ist doch egal, klar muss sein
> dass mit [mm]t^2[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] auch t gegen [mm]\infty[/mm] geht.
Das ist aber i.a. nicht klar. Immerhin könnte t auch gegen [mm] -\infty [/mm] gehen. Folgern kann man nur, dass [mm] |t|\to +\infty [/mm] läuft.
Grüße
reverend
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