Grenzwertbest. bei Gammafktn < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:35 Mi 17.01.2007 | | Autor: | ChryZ |
Ich brauche Hilfe bei folgendem Beweis:
Zeige, dass [mm] \forall n \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \left( \bruch{ \Gamma( \bruch{n}{2})}{ \Gamma( \bruch{n-1}{2})}\right)^2 \bruch{2\wurzel{n}}{(n-1)\wurzel{n-1}} < 1 [/mm]
Der rechte Teil ist natürlich kleiner als 1, aber der linke Teil mit den Gammafunktionen bereitet mir Kopfzerbrechen. Ziemlich klar ist, dass man zwischen den beiden Fällen n gerade und n ungerade unterscheiden muss.
Folgende Zusammenhänge sind mir ebenfalls bekannt:
[mm] \Gamma(\bruch{n}{2}) = (\bruch{n}{2}-1)! [/mm] bei n gerade
[mm] \Gamma(\bruch{n-1}{2}) = \bruch{\wurzel{\pi}}{2^\bruch{n-2}{2}} \produkt_{i=1}^{\bruch{n-2}{2}}2i-1 [/mm] bei n gerade
Problem ist nur, dass ja abwechselt ein gerader Term in der Gamafunktion im Zähler und gleichzeitig ein ungerader Term in der Gammafunktion im Nenner sind, wenn n läuft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Do 15.02.2007 | | Autor: | wauwau |
Die doppelt Fakultätsfunktion ist folgendermaßen definiert:
n!! = [mm] f(n)=\begin{cases} n.(n-2).(n-4)....4.2 & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ n.(n-2).(n-4)...3.1 & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\1 & \mbox{für }n \mbox{ 0,1}\end{cases}
[/mm]
damit hast du
[mm] \Gamma(\bruch{n}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{(n-2)!! \wurzel{\pi}}{2^\bruch{n-1}{2}}
[/mm]
damit solltest du auf der linken seite der Ungleichung lauter Faktoren <1 stehen haben....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 17.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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