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| Aufgabe | 79) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
79.1 [mm] \limes_{x\rightarrow 0}sin(x)log(x)
[/mm]
(x>0)
79.2 [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(tan(x))^{x}
[/mm]
(x>0)
79.3 [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x-tan(x)}{x-sin(x)}
[/mm]
79.4 [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin^{2}(x)}{xe^{x}-x}.
[/mm]
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Meine Lösung zu 79.1:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}sin(x)log(x)=0
[/mm]
Da [mm] sin(0)\*irgendwas [/mm] = 0
Oder muss ich den Beweis irgendwie anders formulieren ?
Danke für Hilfe
Weitere Lösungen kommen gleich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo KampfFlo!
Dein Ergebnis zur 1. Aufgabe ist zwar richtig, aber die Begründung leider nicht. Denn dort liegt ein unbestimmter Ausdruck [mm] $0*(-\infty)$ [/mm] vor. Und das kann als Ergebnis wirklich alles sein.
Alle Aufgaben lassen sich mit den  Grenzwertsätzen nach de l'Hospital lösen.
Dabei sind allerdings für Aufgabe 79.1 und 79.2 erst Umformungen erforderlich:
[mm] [b]79.1[/b]$$\sin(x)*\ln(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)}{\bruch{1}{\ln(x)}}$$
[/mm]
[mm] [b]79.2[/b]$$[\tan(x)]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln[\tan(x)]}$$
[/mm]
Betrachte nun den Grenzwert [mm] $x*\ln[\tan(x)]$:
[/mm]
[mm] $$x*\ln[\tan(x)] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln[\tan(x)]}{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln\left[\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}\right]}{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln[\sin(x)]-\ln[\cos(x)]}{\bruch{1}{x}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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zu 79.1)
Warum wird bei dir Log(x) zu Ln(x) ?
Habe mir beide angeschaut, und sie gehen beide nach minus unendlich.
Ist das daher Egal? Oder wie ist die Ableitung von Log(x) ?
Nachtrag: Das habe ich grade im Forum gefunden:
$ [mm] \log_{10}\left(x^5\right) [/mm] \ = \ [mm] 5\cdot{}\log_{10}(x) [/mm] \ = \ [mm] 5\cdot{}\bruch {1}{\ln(10)}\cdot{}\ln(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch {5}{\ln(10)}\cdot{}\ln(x) [/mm] $
Dann ist (log(x))' = [mm] \bruch{1}{ln(x)}\*ln(x) [/mm] ?
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| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\to\ 0}(tan(x))^x [/mm] |
Hallo Leute. Vielen Dank für die Starthilfe u dieser Aufgabe, aber ich komme trotzdem nicht viel weiter.
Was ich gemacht habe:
Habe den Ansatz von Loddar beherzigt und mir den Grenzwert des Exponenten von e versucht anzuschauen:
[mm]\limes_{x\to\ 0} x \cdot\ \ln ( \tan (x) ) = \limes_{x\to\ 0} \bruch{ \ln ( \sin(x) ) - \ln ( cos(x) )}{\bruch {1}{x}} = \bruch { \infty }{ \infty } [/mm]
So an dieser Stelle wende ich die Regen von L'Hospital an, leite den Nenner und den Zähler ab und komme zu:
[mm] \limes_{x\to\ 0} \bruch{ \bruch{1}{ \sin x} \cdot\ \cos x - \bruch{1}{ \cos x} \cdot\ - \sin x }{- \bruch{1}{x^2}} = \bruch { \infty }{ \infty } [/mm]
Also wende ich die Regel erneut an:
Das Ding oben kann ich schreiben als:
[mm] \limes_{x\to\ 0} \bruch{ \cot x + \tan x}{ - \bruch{1}{x^2}} [/mm]
Dann Nenner und Zähler erneut abgeleitet:
[mm] \limes_{x\to\ 0} \bruch{- \bruch{1}{ \sin^2 x } + \bruch{1}{ \cos^2 x} }{ \bruch{2}{x^3}} [/mm]
wobei wir wieder bei [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] wären.
Wenn ich es nochmal ableite, wird es leider auch nicht besser.
Was mache ich falsch ?
Vielen Dank für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 So 09.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo Imperator_Serhat,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bevor Du hier das 2. mal mit Herrn de l'Hospital loslegst, solltest Du erst umformen:
$$\bruch{ \bruch{1}{ \sin (x)} \cdot\ \cos (x) - \bruch{1}{ \cos (x)} \cdot\ [- \sin (x)] }{- \bruch{1}{x^2}}$$
$$= \ -x^2*\left(\bruch{ \bruch{\cos(x)}{ \sin (x)}+ \bruch{\sin(x)}{ \cos (x)}\right)$$
$$= \ -x^2*\left(\bruch{ \bruch{\red{\cos^2(x)+\sin^2(x)}}{\sin(x)* \cos (x)}\right)$$
$$= \ -x^2*\left(\bruch{ \bruch{\red{1}}{\sin(x)* \cos (x)}\right)$$
$$= \ -\bruch{x^2}{\sin(x)* \cos (x)}$$
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
vielen Dank für die schnelle Hilfe zur späten Stunde. Wir sitzen ja schon eine Weile mit Flo an der Aufgabe :)
für Flo:
Ich habe es wie folgt weiter gerechnet:
[mm] \limes_{x\to\ 0} - \bruch{x^2}{\sin x \cdot\ cos x}= \bruch{0}{0} [/mm]
Ableiten:
[mm] \limes_{x\to\ 0} - \bruch{2x}{ \cos^2 x - \sin^2 x}= - \bruch{0}{1-0}=0[/mm]
Also hier mal an die erste Umformung der Aufgabe denken ! Wir haben lediglich den Grenzwert des Exponenten betrachtet ! Daraus folgt:
[mm] \limes_{x\to\ 0} e^{x \cdot\ \ln ( \tan (x))}=1 [/mm]
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[mm] \limes_{x\rightarrow\0}f(x)
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\0}sin(x)log(x)
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\0}g(x)\*u(x)
[/mm]
g(x)=sin(x) und u(x)=log(x)
[mm] =\limes_{x\rightarrow\0}g(x)\*u(x)
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{g'(x)}{\bruch{1}{u'(x)}}
[/mm]
[mm] u'(x)=\bruch{0*log(x)-\bruch{1}{x\*ln(10)*1}}{(log(x))^{2}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{cos(x)}{\bruch{1}{u'(x)}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{-\bruch{1}{x\*ln(10}}{(log(x)^{2}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{x\*ln10\*(log(x))^{2}}
[/mm]
Und da komm ich jetzt nich weiter.
Oder ist das alles komplett falsch?
Kann ich de l'Hospital überhaupt anwenden ? *kopfkratz*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Flo,
dann generiere ich nochmal ein paar Formelgrafiken auf dem alten Server 
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}f(x)[/mm]
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\0}sin(x)log(x)[/mm]
Ist hier wirklich der Zehnerlogarithmus [mm] $\log_{10}$ [/mm] gemeint?
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\0}g(x)\*u(x)[/mm]
>
> g(x)=sin(x) und u(x)=log(x)
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\0}g(x)\*u(x)[/mm]
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{g'(x)}{\bruch{1}{u'(x)}}[/mm]
Hier stimmt die Ableitungsschreibweise nicht ganz. Für l'Ho(s)pital musst Du ja die Ableitung des Nenners bilden (was Du unten ja auch machst), und nicht die Ableitung des Nenners des Nennerbruchs, also:
[mm]=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{g'(x)}{\left(\bruch{1}{u(x)}\right)'}[/mm]
> [mm]u'(x)=\bruch{0*log(x)-\bruch{1}{x\*ln(10)*1}}{(log(x))^{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das kannst Du noch vereinfachen zu
$=\bruch{-\bruch{1}{x*\ln(10)}}{(\log(x))^{2}}$
$=-\bruch{1}{x*\ln(10)*(\log(x))^{2}$
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{cos(x)}{\bruch{1}{u'(x)}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{-\bruch{1}{x\*ln(10}}{(log(x)^{2}}[/mm]
Wo ist hier [mm] $\cos$ [/mm] geblieben?
Also, Du hattest
[mm]=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\cos(x)}{-\bruch{1}{x*\ln(10)*(\log(x))^{2}}[/mm]
[mm]=\limes_{x\rightarrow 0} -\cos(x)*x*\ln(10)*(\log(x))^{2}[/mm]
Ich sehe aber gerade auch nicht, wie uns das jetzt weiter bringt...
> [mm]=-\bruch{1}{x\*ln10\*(log(x))^{2}}[/mm]
>
>
> Und da komm ich jetzt nich weiter.
> Oder ist das alles komplett falsch?
> Kann ich de l'Hospital überhaupt anwenden ? *kopfkratz*
Ich denke nochmal drüber nach...
Viele Grüße,
Marc
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Hallo,
ich denke, du kannst mit zweimaliger Anwendung von de l'Hospital zum Ziel kommen.
Erstmal schreiben wir den [mm] \log [/mm] als [mm] \ln
[/mm]
[mm] \log(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}
[/mm]
Schreiben wir andersherum als in Loddars Vorschlag und ziehen [mm] \frac{1}{\ln(10)} [/mm] vor den limes:
[mm] \lim\limits_{x\to 0}\sin(x)\log(x)=\frac{1}{\ln(10)}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}}=\frac{1}{\ln(10)}\cdot{}\left(-\frac{\infty}{\infty}\right)
[/mm]
Also ran mit de l'Hospital:
[mm] =\frac{1}{\ln(10)}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}}=\frac{1}{\ln(10)}\lim\limits_{x\to 0}-\frac{\sin^2(x)}{x\cos(x)}=\frac{1}{\ln(10)}\cdot{}\frac{0}{0}
[/mm]
Also wieder ran mit de l'Hospital
[mm] =\frac{1}{\ln(10)}\lim\limits_{x\to 0}-\frac{2\sin(x)\cos(x)}{\cos(x)-x\sin(x)}=\frac{1}{\ln(10)}\cdot{}\frac{0}{1-0}=0
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 So 09.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo schachuzipus!
> Schreiben wir andersherum als in Loddars Vorschlag ...
Etwas ähnliches hatte ich schon befürchtet ...
> [mm]=\frac{1}{\ln(10)}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}}=\frac{1}{\ln(10)}\lim\limits_{x\to 0}-\frac{\sin^2(x)}{x\cos(x)}=\frac{1}{\ln(10)}\cdot{}\frac{0}{0}[/mm]
Hier kann man den Bruch auch alternativ zerlegen / umformen zu:
[mm] $$\bruch{\sin^2(x)}{x*\cos(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)}{x}*\bruch{\sin(x)}{\cos(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)}{x}*\tan(x)$$
[/mm]
Der erste Term [mm] $\bruch{\sin(x)}{x}$ [/mm] geht bekanntermaßen gegen $1_$ (kann auch mit Herrn de l'Hospital gezeigt werden) und der [mm] $\tan(x)$ [/mm] gegen $0_$ .
So kann die 2. Anwendung mit Herrn de l'Hospital stark vereinfacht werden (in Verbindung mit den Grenzwertsätzen).
Gruß
Loddar
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Super lieben Dank!
Jetzt haben wir es verstanden! Alles klasse.
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Hi Loddar,
ja, das ist natürlich bei weitem vieeel eleganter und effizienter
Hatte ich gar nicht dran gedacht in meiner "Ableitungswut"
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:25 So 09.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo schachuzipus!
> ja, das ist natürlich bei weitem vieeel eleganter und effizienter.
Naja, wenn ich weiter oben erst mal eine falsche Fährte gesetzt habe, muss ich das ja irgendwie wieder gutmachen .
Gruß
Loddar
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Hi Flo,
Hab ne Lösung, die gut aussieht :) :
[mm] \limes_{x\to\ 0} \bruch{x- \tan x}{x- \sin x} = \bruch{0}{0}[/mm]
Also ein Fall für L'Hospital --> Ableiten ergibt:
[mm] \limes_{x\to\ 0} \bruch{1- \bruch{1}{ \cos^2 x}}{1- \cos x}= \bruch{0}{0} [/mm]
Wieder die Regel anwenden und erneut Nenner und Zähler ableiten:
[mm] \limes_{x\to\ 0} \bruch{0- \bruch{0-(2 \cdot\ \cos x \cdot\ - \sin x)}{ \cos^4 x}}{ \sin x} = \limes_{x\to\ 0} \bruch{-2 \cdot\ \sin x}{ \cos^3 x \cdot\ \sin x}=\bruch{0}{0}[/mm]
Na rate mal was jetzt kommt.... RCIHTIIIG, nochmal ableiten:
[mm] \limes_{x\to\ 0} \bruch{-2 \cdot\ \cos x}{3 \cdot\ \cos^2 x \cdot\ -\sin^2 x + \cos^4 x}= \bruch{-2 \cdot\ 1}{1-0}=-2[/mm]
Ich habe gerade auch die Funktion mit einem Programm gezeichnet, es sieht gut aus.
Hat jemand einen besseren Vorschlag? Ist der Lösungsweg verständlich und OK?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 So 09.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Imperator!
Auch hier kann man nach der ersten de l'Hospital'schen Anwendung eleganter zum Ziel kommen:
> [mm]\limes_{x\to\ 0} \bruch{1- \bruch{1}{ \cos^2 x}}{1- \cos x}= \bruch{0}{0}[/mm]
Bringe den Zähler auf einen Nenner und wende anschließend die 3. binomische Formel an. Dann kann man wunderbar kürzen und den Ausdruck vereinfachen.
Gruß
Loddar
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Hallo Serhat,
das Ergebnis stimmt natürlich, aber auch hier kannst du
dir ne Menge Arbeit sparen, wenn du zuerst umformst
[mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\frac{1}{\cos^2(x)}}{1-\cos(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{\cos^2(x)-1}{\cos^2(x)}}{1-\cos(x)}$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{(\cos(x)-1)(\cos(x)+1)}{\cos^2(x)}}{1-\cos(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(\cos(x)-1)(\cos(x)+1)}{\cos^2(x)(1-\cos(x))}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-(\cos(x)+1)}{\cos^2(x)}=-2$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Vielen Dank. und natürlich auch besten Dank an Loddar.
Das ist auch alles klar und verstanden, bis auf den letzten Schritt. Vielleicht liegt es auch an der Uhrzeit, aber den letzten Schritt (eigentlich den vorletzten.. Also dass -2 raus kommt kann ich noch rechnen) kann ich nicht nachvollziehen.
Ich denke ich sollte öfter über Umformungen nachdenken, anstatt immer sofort mit Ableiten los zu legen.
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Oi,
also im vorletzten Schritt hab ich den ollen Doppelbruch da mal beseitigt, indem ich mit dem Kehrwert multipliziert habe.
Dann habe ich [mm] (\cos(x)-1) [/mm] geschrieben als [mm] -(1-\cos(x)), [/mm] um es dann zu kürzen mit dem [mm] (1-\cos(x)) [/mm] aus dem Nenner des Kehrbruchs von eben
Bleibt im Zähler das - und [mm] (\cos(x)+1)
[/mm]
LG
schachuzipus
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Hi Flo,
Dank der Hilfe hier im Forum komme ich gut voran. Und hier kommt auch schon die letzte Teilaufgabe:
Mal sehen, ob ich es dieses Mal etwas eleganter hinkriege:
[mm] \limes_{x\to\ 0} \bruch{\sin^2 x}{x \cdot\ e^x -x} = \bruch{0}{0}[/mm]
Ableiten:
[mm] \limes_{x\to\ 0} \bruch{2\cdot\ \sin x \cdot\ \cos x}{e^x+x \cdot\ e^x-1}= 2 \cdot\ \limes_{x\to\ 0} \bruch{\cos^2 x - \sin^2 x}{(2+x) \cdot\ e^x}=2 \cdot\ \bruch{1}{2}=1[/mm]
:)
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Hallo Imperator!
Hab Deine Lösung überprüft,sie stimmt.
Grüße Martha.
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