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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 So 22.11.2009 | | Autor: | Adam |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x \to 0}sin(2x)*cot(3x) [/mm] |
Ergebnis soll [mm] \bruch{2}{3} [/mm] sein. Kann mir jemand bitte erklären, wie ich dazu komme?
Danke u. Grüße
Adam
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Hallo Adam,
> [mm]\limes_{x \to 0}sin(2x)*cot(3x)[/mm]
> Ergebnis soll [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
> sein. Kann mir jemand bitte erklären, wie ich dazu komme?
Es gilt:
[mm]\sin(2x)\cot(3x)=\frac{\sin(2x)\cos(3x)}{\sin(3x)}=\frac{2\sin x\cos x\cos(3x)}{3\sin x - 4\sin^3 x}=\frac{2\cos x\cos(3x)}{3 - 4\sin^2 x}[/mm]
[mm]= \frac{2\cos x\cos(3x)}{3 - 4\left(1-\cos^2 x\right)}=\frac{2\cos x\cos(3x)}{4\cos^2 x-1}.[/mm]
Und jetzt betrachte den Grenzwert für [mm]x\to 0[/mm].
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 So 22.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Adam!
Es geht (wenn bekannt) auch mit  Herrn de l'Hospital:
[mm] $$\limes_{x \to 0}\sin(2x)*\cot(3x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x \to 0}\bruch{\sin(2x)*\cos(3x)}{\sin(3x)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x \to 0}\bruch{\sin(2x)}{\sin(3x)}*\limes_{x \to 0}\cos(3x) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 So 22.11.2009 | | Autor: | Adam |
Vielen Dank Karl_Pech u. Loddar für die rasche Antwort.
Ich habs jetzt mit L'Hospital lösen können! Echt super!
Viele Grüße
Adam
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