Grenzwertbestimmung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Jule2 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der konvergenten Reihe:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{4k^2 -1} [/mm] |
Hallo liebe Leser,
wäre nett wenn mir einer sagen würde ob die schreibweise so ok ist oder nicht bin mir da nich ganz sicher:
Also ich habe die Summe
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{4k^2 -1} [/mm]
mittels Partialbruchzerlegung umgeschrieben in
[mm] \bruch{1}{4}(\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k-\bruch{1}{2}} -\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{ k +\bruch{1}{2}})
[/mm]
Die beiden Summen sehen ja wie folgt aus:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k-\bruch{1}{2}} =\bruch{2}{3}+\bruch{2}{5}+\bruch{2}{7}+......+\bruch{2}{2k-1}
[/mm]
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k+\bruch{1}{2}} =\bruch{2}{5}+\bruch{2}{7}+\bruch{2}{9}+......+\bruch{2}{2k-1}+\bruch{2}{2k+1}
[/mm]
So nun nun kann ich dass ja auch umordnen
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k-\bruch{1}{2}} -\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{ k +\bruch{1}{2}} =\bruch{2}{3}+\bruch{2}{5}-\bruch{2}{5}+\bruch{2}{7}-\bruch{2}{7}+.......+\bruch{2}{2k-1}-\bruch{2}{2(k-1)+1}-\bruch{2}{2k+1}
[/mm]
Also bleibt übrig:
[mm] \bruch{2}{3}-\bruch{2}{2k+1}
[/mm]
So und jetzt den Limes anwenden dann steht da:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}= \bruch{1}{4}*(\bruch{2}{3}-\bruch{2}{2k+1})
[/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{4}*\bruch{2}{3} -\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{4}*\bruch{2}{2k+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*\bruch{2}{3}-(\bruch{1}{4}*0)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{6}
[/mm]
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Hallo,
ich bin, um ehrlich zu sein, deine Rechnung nicht ganz durchgegangen, sondern habe den Grenzwert selbst kurz 'mit der Hand am Arm' berechnet. Es ist ja eine Teleskopsumme, was du ja auch benutzt hast. Kurzer Rede langer Sinn: ich komme mit einer etwas anderen Partialbruchzuerlegung auf das gleiche Resultat.
Ich denke, deine Rechnung ist richtig, sie hat aber noch etwas Potenzial in Sachen Vereinfachung. 
Gruß, Diophant
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