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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 So 06.01.2013 | | Autor: | Dome1994 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Funktion [mm] f:\IR\setminus{0}\to\IR, [/mm] gegeben durch
f (x) = [mm] (1-x)*\bruch{sin(x)}{|x|};
[/mm]
Edit Marcel: Formel korrigiert: Anstatt $f (x) = [mm] (1−x)*\bruch{sin(x)}{|x|};$ [/mm]
kann man die Funktion nun richtig als $f (x) = [mm] (1-x)*\bruch{sin(x)}{|x|}$
[/mm]
erkennen!
den rechts- und den linksseitigen Grenzwert für x gegen 0.
Lässt sich f an der Stelle x = 0 stetig ergänzen? |
Hallo zusammen,
Ich brauche bitte eure Hilfe bei obenstehender Aufgabe. Und zwar komm ich einfach nicht drauf, wie ich den Term umschreiben kann, so dass ich ihn gegen 0 laufen lassen kann.
Ich hoffe da kann mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben :)
Schon mal vielen Dank im Vorraus!
LG Dome
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 So 06.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Beachte, dass
[mm]|x|=\begin{cases} x, & \mbox{fuer } x\geq0 \\
-x, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm]
Damit wird dann deine Funktion zu:
EDIT: Deine Funktion hatte ein -, das habe ich verbessert.
[mm](x-1)\cdot\frac{\sin(x)}{|x|}=\begin{cases} (x-1)\cdot\frac{\sin(x)}{x}, & \mbox{fuer } x>0 \\
(x-1)\cdot\frac{\sin(x)}{-x}, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm]
Nun betrachte mal die beiden Grenzwerte an der Stelle x=0
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 06.01.2013 | | Autor: | Dome1994 |
Wenn ich x=0 einsetze bekomme ich bei beiden 0 raus, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 So 06.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Wenn ich x=0 einsetze bekomme ich bei beiden 0 raus, oder?
>
>
Nein, dazs schau dir mal meine eben erstellte zweite Antwort an.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 So 06.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Es gilt:
[mm] $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)-0}{x-0}$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}$
[/mm]
Nun hast du gerade den Differenzenquotienten dort stehen, also ist
[mm] $=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)-0}{x-0}$
[/mm]
gerade die Ableitung der Sinusfunktion an der Stelle x=0
Damit:
[mm] $=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)-0}{x-0}=\cos(0)=1$
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 06.01.2013 | | Autor: | Dome1994 |
Ok, dann ist also 1 der obere Grenzwert.
Und wie siehts mit dem unteren aus?
Sorry wenn ich mich grad bissl blöd anstell aber ich steig grad net so wirklich durch.
LG Dome
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 So 06.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ok, dann ist also 1 der obere Grenzwert.
1 ist der beidseitige Grenzwert
[mm] \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}
[/mm]
> Und wie siehts mit dem unteren aus?
> Sorry wenn ich mich grad bissl blöd anstell aber ich
> steig grad net so wirklich durch.
>
> LG Dome
>
Marius
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