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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:20 Di 05.11.2013 | | Autor: | leasarfati |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{6}*\bruch{4-1}{4}*\bruch{2*4-1}{4}) [/mm] |
Hallo,
ich habe Probleme bei der Grenzwertbildung... Wäre dieses Ergebnis richtig?:
[mm] =\bruch{1}{6}*\bruch{3}{4}*\bruch{7}{4}
[/mm]
= [mm] \bruch{7}{32}
[/mm]
Kann mir jemand erklären, wie das Ausrechnen von Grenzwerten funktioniert?
Vielen Dank!!
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Hallo leasarfati!
> Bestimmen Sie den Grenzwert.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{6}*\bruch{4-1}{4}*\bruch{2*4-1}{4})[/mm]
Da in dem Term überhaupt nicht die Laufvariable $n_$ auftritt, ist der "Grenzwert" hier wirklich einfach der Wert des Bruches.
Lautet die Aufgabe nicht ursprünglich etwas anders?
Da kommt doch mit Sicherheit noch ein $n_$ drin vor.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
ja, die Aufgabe ist das Ausrechnen von der Unter- und Obersumme. ich habe jetzt nur an dieser Stelle gehakt, deshalb habe ich nicht die gesamte Aufgabe aufgeschrieben. Das mache ich jetzt einfach mal.
Berechnen Sie [mm] U_{4} [/mm] und [mm] O_{4} [/mm] sowie [mm] U_{8} [/mm] und [mm] O_{8} [/mm] für die angegebene Funktion f über dem Intervall I.
f(x)=x+1, I=[0;1]
Jetzt habe ich Folgendes gerechnet:
[mm] U_{4}= \bruch{1}{4}* (0+1+\bruch{1}{4}+1+\bruch{2}{4}+1+\bruch{3}{4}+1)
[/mm]
= 1,375
Bei der Obersumme habe ich das Gleiche gemacht und es kam 1,625 raus. Jetzt muss ich doch den Grenzwert bilden, um ein möglichst genaues Ergebnis zu erhalten, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ja, die Aufgabe ist das Ausrechnen von der Unter- und
> Obersumme. ich habe jetzt nur an dieser Stelle gehakt,
> deshalb habe ich nicht die gesamte Aufgabe aufgeschrieben.
> Das mache ich jetzt einfach mal.
>
> Berechnen Sie [mm]U_{4}[/mm] und [mm]O_{4}[/mm] sowie [mm]U_{8}[/mm] und [mm]O_{8}[/mm] für
> die angegebene Funktion f über dem Intervall I.
>
> f(x)=x+1, I=[0;1]
>
> Jetzt habe ich Folgendes gerechnet:
>
> [mm]U_{4}= \bruch{1}{4}* (0+1+\bruch{1}{4}+1+\bruch{2}{4}+1+\bruch{3}{4}+1)[/mm]
>
> = 1,375
>
> Bei der Obersumme habe ich das Gleiche gemacht und es kam
> 1,625 raus.
Das hab ich jetzt nicht nachgerechnet.
> Jetzt muss ich doch den Grenzwert bilden, um
> ein möglichst genaues Ergebnis zu erhalten, oder?
Ja, aber dazu musst Du [mm] U_n [/mm] (bzw. [mm] O_n) [/mm] für jedes (!) n berechnen.
Dann gilt: [mm] \integral_{0}^{1}{(x+1) dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}U_n=\limes_{n\rightarrow\infty}O_n
[/mm]
FRED
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Tut mir leid, vielleicht stehe ich gerade auf'm Schlauch, aber ich weiß nicht, was damit gemeint ist. Wie muss man das konkret ausrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Tut mir leid, vielleicht stehe ich gerade auf'm Schlauch,
> aber ich weiß nicht, was damit gemeint ist. Wie muss man
> das konkret ausrechnen?
[mm] U_4 [/mm] hast Du doch schon hinbekommen. Allgemein:
[mm] U_n=\bruch{1}{n}\summe_{j=1}^{n}(\bruch{j-1}{n}+1)
[/mm]
FRED
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[mm] U_{4}= \bruch{1}{4}*(\bruch{j-1}{4} [/mm] +1) Was ist hier jetzt j?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]U_{4}= \bruch{1}{4}*(\bruch{j-1}{4}[/mm] +1) Was ist hier jetzt
> j?
Nein, es ist
$ [mm] U_4=\bruch{1}{4}\summe_{j=1}^{n}(\bruch{j-1}{4}+1) [/mm] $
FRED
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Bestimme ich den Grenzwert dann so?:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{4}*(\bruch{j-1}{4}+1)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Grenzwertberechnung ist schon lange her...^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme ich den Grenzwert dann so?:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{4}*(\bruch{j-1}{4}+1)[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
Unsinn ! Du ignorierst ständig [mm] \summe_{j=1}^{n}
[/mm]
Dir scheint nicht klar zu sein, was das bedeutet.
Sind [mm] a_1,a_2,...,a_n [/mm] Zahlen, so schreibt man für die Summe
[mm] a_1+a_2+...+a_n [/mm] auch
[mm] \summe_{j=1}^{n}a_j
[/mm]
FRED
>
> Grenzwertberechnung ist schon lange her...^^
>
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Ich weiß, was das Summenzeichen bedeutet, aber warum muss ich das hier benutzen? Und wie kann man damit den Grenzwert bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich weiß, was das Summenzeichen bedeutet, aber warum muss
> ich das hier benutzen?
Mann ! Du sollst doch Untersummen (bzw. Obersummen) berechnen. Sind das keine Summen ?
>Und wie kann man damit den Grenzwert
> bestimmen?
Nochmal:
$ [mm] U_n=\bruch{1}{n}\summe_{j=1}^{n}(\bruch{j-1}{n}+1) [/mm] $
Berechne zuerst [mm] U_n. [/mm] Zur Kontrolle:
[mm] U_n=\bruch{n-1}{2n}+1.
[/mm]
Dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}U_n=\bruch{3}{2}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Di 05.11.2013 | | Autor: | leasarfati |
Okay, jetzt habe ich diesen Aspekt verstanden. Danke!
Ich habe die Untersumme mit der Formel ausgerechnet und da kommen 1,375 raus. Wie bekommt man ein Ergebnis beim Grenzwert. Mir hilft die Lösung nicht; ich würde gerne wissen, wie man das berechnet.
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Sorry, hab ich jetzt verstanden. Wäre die Formel für die Obersumme dann diese?:
[mm] \bruch{n+1}{2n}+1
[/mm]
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> Sorry, hab ich jetzt verstanden. Wäre die Formel für die
> Obersumme dann diese?:
>
> [mm]\bruch{n+1}{2n}+1[/mm]
Hallo,
ja.
Nächstes Mal poste doch bitte die vollständige Aufgabenstellung.
So, wie Du sie genannt hast, ist da überhaupt kein Grenzwert zu berechnen und kein [mm] U_n.
[/mm]
Für [mm] U_4 [/mm] und [mm] U_8 [/mm] braucht (und nimmt) man keinen Grenzwert.
Auch für [mm] U_n [/mm] und [mm] O_n [/mm] braucht man keinen Grenzwert.
Erst wenn nach [mm] \lim_{n\to \infty} [/mm] gefragt wird, kommen Grenzwerte ins Spiel.
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Di 05.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ja, die Aufgabe ist das Ausrechnen von der Unter- und
> Obersumme. ich habe jetzt nur an dieser Stelle gehakt,
> deshalb habe ich nicht die gesamte Aufgabe aufgeschrieben.
> Das mache ich jetzt einfach mal.
>
> Berechnen Sie [mm]U_{4}[/mm] und [mm]O_{4}[/mm] sowie [mm]U_{8}[/mm] und [mm]O_{8}[/mm] für
> die angegebene Funktion f über dem Intervall I.
>
> f(x)=x+1, I=[0;1]
>
> Jetzt habe ich Folgendes gerechnet:
>
> [mm]U_{4}= \bruch{1}{4}* (0+1+\bruch{1}{4}+1+\bruch{2}{4}+1+\bruch{3}{4}+1)[/mm]
>
> = 1,375
>
> Bei der Obersumme habe ich das Gleiche gemacht und es kam
> 1,625 raus. Jetzt muss ich doch den Grenzwert bilden, um
> ein möglichst genaues Ergebnis zu erhalten, oder?
Nein, du interpretierst hier Sachen rein, die vermutlich gar nicht in der Aufgabe stehen.
Neben [mm] $U_4$ [/mm] und [mm] $O_4$ [/mm] sind noch [mm] $U_8$ [/mm] und [mm] $O_8$ [/mm] zu berechnen.
Wieso solltest du dafür einen Grenzwert bilden?
Gruß Abakus
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