Grenzwertbestimmung allgemein < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Do 19.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{-3^{k}}{4^{k}} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe dieses Semester erst mit der Analysis angefangen und habe diese Aufgabe.
Mein Problem allgemein ist, dass ich überhaupt nicht weiß, wie ich an so eine Aufgabe überhaupt herangehen muss. Wir haben bisher kaum Sätze und Definitionen in der Vorlesung gehabt,sondern nur komische Beispiele, die mich mehr verwirren als weiterbringen.
Vielleicht kann mir jemand helfen, wie ich überhaupt hier rangehen muss?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Ferolei und ganz herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
> [mm] $\red{\summe^{\infty}_{k=1}} \bruch{\red{(}-3\red{)}^{k}}{4^{k}}$
[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe dieses Semester erst mit der Analysis angefangen
> und habe diese Aufgabe.
>
> Mein Problem allgemein ist, dass ich überhaupt nicht
> weiß, wie ich an so eine Aufgabe überhaupt herangehen
> muss. Wir haben bisher kaum Sätze und Definitionen in der
> Vorlesung gehabt,sondern nur komische Beispiele, die mich
> mehr verwirren als weiterbringen.
Na, bei den Beispielen war bestimmt die geometrische Reihe dabei, oder? 
Noch ein Tipp: es ist [mm] $\frac{(-3)^k}{4^k}=\left(-\frac{3}{4}\right)^k$
[/mm]
In welchem Fall (also für welche q) konvergiert eine geometrische Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k$ [/mm] und wogegen?
Beachte auch, dass deine Reihe nicht - wie bei der allg. geometr. Reihe - bei $k=0$ losläuft, sondern bei $k=1$ ...
>
> Vielleicht kann mir jemand helfen, wie ich überhaupt hier
> rangehen muss?
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Do 19.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ja, die hatten wir natürlich. Aber da fangen meine Probleme schon an.
Ich habe zwar in meinen Unterlagen stehen, dass die geom. Reihe für |q|<1 konvergiert, aber das sehe ich nicht.
Ich habe zur geometrischen Reihe hier folgendes alles stehen:
[mm] s_{n}= \bruch{1-c^{n+1}}{1-c}
[/mm]
s= [mm] \bruch{1}{1-c}
[/mm]
Was bedeutet das ? Ich habe hier etwa 4 Analysis Bücher liegen und überall steht nur die Definition... aber was genau bedeutet dieser Ausdruck?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Do 19.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Achja, ich habe dieses Derive Programm, das mit den Grenzwert -3/7 ausspuckt.... kann das aber nicht nachvollziehen, weil wir ja gesagt haben, dass die Reihe für |q|<1 gegen 0 läuft
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Hallo,
> Achja, ich habe dieses Derive Programm, das mit den
> Grenzwert -3/7 ausspuckt.... kann das aber nicht
> nachvollziehen, weil wir ja gesagt haben, dass die Reihe
> für |q|<1 gegen 0 läuft
Nein, für $|q|<1$ ist [mm] $\sum\limikts_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}\neq [/mm] 0$
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Do 19.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hmmm, ich habe hier in meinen Unterlagen stehen:
Behauptung: Für |q|<1 gilt: lim [mm] q^{n} [/mm] = 0
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Hallo nochmal,
> Ja, die hatten wir natürlich. Aber da fangen meine
> Probleme schon an.
> Ich habe zwar in meinen Unterlagen stehen, dass die geom.
> Reihe für |q|<1 konvergiert, aber das sehe ich nicht.
>
> Ich habe zur geometrischen Reihe hier folgendes alles
> stehen:
>
> [mm] $s_{n}= \bruch{1-\red{q}^{n+1}}{1-\red{q}}$
[/mm]
Der Konsistenz wegen solltest du q schreiben
Ok, das ist der Wert der endlichen geometrischen Reihe
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
Das gilt für alle [mm] q\neq [/mm] 1 und alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] (Beweis zB. mit vollst. Induktion)
>
> $s= [mm] \bruch{1}{1-\red{q}}$
[/mm]
Das ist der GW [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}q^k$ [/mm] , und der existiert nur für $|q|<1$, falls $|q|>1$, so divergiert das Biest oben, das kannst du der Darstellung [mm] $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm] direkt ansehen: für $|q|>1$ divergiert das gegen [mm] $\infty$, [/mm] für $|q|<1$ strebt das [mm] $q^{n+1}$ [/mm] im Zähler für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen 0, das ganze Biest also gegen [mm] $\frac{1-0}{1-q}=\frac{1}{1-q}$
[/mm]
Für den GW der endlichen geom. Reihe [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^nq^k$ [/mm] schreibt man auch [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k$ [/mm] und nennt das Teil (unendliche) geometrische Reihe, deren Wert nach dem oben Gesagten also [mm] $=\frac{1}{1-q}$ [/mm] (für $|q|<1$) ist.
Nun hast du die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{3}{4}\right)^k$
[/mm]
Das kannst du nun übertragen (achte aber auf den Laufindex $k=1$ im Vgl. zu $k=0$)
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> Was bedeutet das ? Ich habe hier etwa 4 Analysis Bücher
> liegen und überall steht nur die Definition... aber was
> genau bedeutet dieser Ausdruck?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Do 19.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ah, mit dem GW schonmal gut zu wissen!
Aber ich versteh nicht, wieso man dem "Biest" ansieht, dass es bei |q|>1 divergiert.
Heißt das, dass wenn ich für [mm] q^{k} [/mm] werte einsetze, die <1 sind, und die dann summiere, diese gegen 0 laufen?
In der Summe steht doch von 0 bis n... was heißt dann [mm] f1-q^{n+1}... [/mm] also was ist dieser n+1-te Wert ?
lG
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Hallo nochmal,
> Ah, mit dem GW schonmal gut zu wissen!
>
> Aber ich versteh nicht, wieso man dem "Biest" ansieht, dass
> es bei |q|>1 divergiert.
Na, was passiert denn für $|q|>1$ mit [mm] $q^{n+1}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ??
Nimm mal zB. $q=3$
Dass die Folge [mm] $\left(q^n\right)_{n\in\IN}$ [/mm] für $|q|<1$ gegen 0 konvergiert und für [mm] $|q|\ge [/mm] 1$ divergiert, solltet ihr im Kapitel über Folgen aber gezeigt haben ...
>
> Heißt das, dass wenn ich für [mm]q^{k}[/mm] werte einsetze, die <1
> sind, und die dann summiere, diese gegen 0 laufen?
Es läuft für $|q|<1$ nur [mm] $q^{n+1}$ [/mm] gegen 0 für [mm] $n\to\infty$, [/mm] also läuft [mm] $s_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1-0}{1-q}=\frac{1}{1-q}=:s$, [/mm] also alles schön so, wie es in der Formel steht.
>
> In der Summe steht doch von 0 bis n... was heißt dann
> [mm]f1-q^{n+1}...[/mm] also was ist dieser n+1-te Wert ?
Die Frage kapiere ich nicht.
Deute ich richtig, dass du nun doch [mm] $\sum\limits^{\infty}_{k=\red{0}}\left(-\frac{3}{4}\right)^k$ [/mm] hast?
Nun, dann weißt du, dass diese Reihe konvergent ist, denn [mm] $|q|=\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}<1$.
[/mm]
Ihren Wert kannst du auch berechnen, die Formel steht ja nun schon oft genug hier im thread
Also, wie sieht's mit dem Reihenwert aus?
Obwohl: dem Wert, den DERIVE dir ausgespuckt hat, entnehme ich, dass die Reihe doch erst bei $k=1$ losgeht ...
>
> lG
Dito
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Do 19.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Nein das haben wir leider bisher nicht gesagt.
Wir hatten nur das Beispiel aufgeschrieben, für 2er Potenzen:
Also 1+1/2+1/4+1/8+1/16 .... und haben die dann gegen 2 abgeschätzt
Das heißt, dass diese Reihe oben, ein Beispiel für eine geom. Reihe mit |q|<1 ist?
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Hallo,
> Nein das haben wir leider bisher nicht gesagt.
> Wir hatten nur das Beispiel aufgeschrieben, für 2er
> Potenzen:
>
> Also 1+1/2+1/4+1/8+1/16 .... und haben die dann gegen 2
> abgeschätzt
Wir reden etwas aneinander vorbei, ich hatte versucht, dir zu erklären, dass im Ausdruck [mm] $s_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm] für $|q|>1$ der Summand [mm] $q^{n+1}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] divergiert (und damit [mm] $s_n$)
[/mm]
Und dass umgekehrt für $|q|<1$ der Summand [mm] $q^{n+1}$ [/mm] gegen 0 konvergiert, also [mm] $s_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{1-q}$ [/mm] (für [mm] $n\to\infty$)
[/mm]
Du redest von der Reihe ...
>
> Das heißt, dass diese Reihe oben, ein Beispiel für eine
> geom. Reihe mit |q|<1 ist?
Ja, das ist hier der Fall!
Wie sieht's also mit dem GW bzw. Reihenwert aus?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Do 19.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ja, das tut mit Leid. Ich finde das alles noch sehr kompliziert mit den Begriffen.
Wenn ich jetzt die Folge [mm] (-\bruch{3}{4})^{k} [/mm] habe, soll ich werte für q einsetzen?
Also in [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] ?
Habe ich dann soetwas da stehen:
[mm] \bruch{1+\bruch{3}{4}^1}{1+\bruch{3}{4}} [/mm] ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Do 19.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Also -3/4 ist jetzt mein a1
Muss ich dann [mm] -\bruch{3}{4}*\bruch{1}{1-\bruch{-3}{4}} [/mm] ???
Also: [mm] \bruch{-3}{4}*\bruch{4}{7} [/mm] = [mm] \bruch{-3}{4} [/mm] ????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Do 19.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei dir geht etwa durcheinander:
1. es gibt die FOLGE [mm] q^n, [/mm] wenn q<1 ist dann weisst du, dass [mm] q^2
2. Es gibt eine Folge von Summen
[mm] s_n=\summe_{i=1}^{n}q^n
[/mm]
die Summe kann man für jedes q ausrechnen, egal ob es kleiner oder grösser 1 ist, dies habt ihr hergeleitet, die Herleitung steht auch in jedem Buch, (ich find sie schön, also lies sie nach)
dann weisst du [mm] s_n=\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}
[/mm]
jetzt solltest du sehen, dass wenn q>1 ist, dass der Zähler mit wachsendem n immer riesiger wird, d.h. [mm] s_n [/mm] geht gegen [mm] \infty, [/mm] für n [mm] gegen\infty
[/mm]
q>1 haben wir eben gesehen, da [mm] q^{n+1} [/mm] geht gegen 0 es bleibt übrig für n gegen [mm] \infty [/mm] : [mm] \bruch{-1}{q-1}
[/mm]
dein q war -3/4 das solltest du einstzen können und damit hast du den GW von [mm] s_n
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Danke für die Antwort.
Also der Knackpunkt hier ist ja wirklich nur, dass die Reihe bei 1 beginnt.
Das heißt, ich weiß ja durch die geom. Reihe, dass ich [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] nehmen kann, da aber hier die Reihe bei 1 beginnt, muss ich diese ja nochmal abziehen !
Also [mm] \bruch{1}{1+\bruch{3}{4}} [/mm] -1
Habe ja für [mm] s_0=1 [/mm] und die muss ich auch wieder abziehen,wenn ich sie für die allgemeine geometrische Reihe nutze, richtig ?
Demnach erhalte ich : [mm] \bruch{1}{1+\bruch{3}{4}} [/mm] -1 = [mm] -\bruch{3}{7}
[/mm]
Habe ich das richtig verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Do 19.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ja, die Reihe geht bei k=1 los
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