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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Grenzwertbestimmung mit Pi/2
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Grenzwertbestimmung mit Pi/2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Fr 19.06.2015
Autor: jengo32

Aufgabe
[mm] \limes_{x\rightarrow\(\bruch{\pi}{2}} (2x-\pi)*tan(x) [/mm]

Hallo Community,

Grenzwerte ist mir an sich kein fremdes Thema mehr. Ich versuche zuerst (wenn möglich) die Aufgabe in einen unbestimmten Ausdruck umzuformen, damit ich die Regel von L'hospital anwenden kann.

Hier steh ich jedoch auf dem Schlauch. Ich könnte den Term so umschreiben:

[mm] \limes_{x\rightarrow\(\bruch{\pi}{2}} \bruch{(2x-\pi)*sin(x)}{cos(x)} [/mm]

wenn ich Pi/2 "gedanklich" für x einsetzen würde, würde da ja etwas stehen wie [mm] \bruch{0*sin(x)}{cos(x)} [/mm]

Das Ergebnis soll laut Rechner (-2) sein.

Ich wäre euch über jegliche Hilfe dankbar :-)

Lg

P.S. Falls es schlecht zu erkennen ist, x soll gegen Pi/2 gehen :-)
        
Bezug
Grenzwertbestimmung mit Pi/2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Fr 19.06.2015
Autor: reverend

Hallo Jengo,

das fängt doch schonmal ganz gut an. ;-)

> [mm]\limes_{x\rightarrow\(\bruch{\pi}{2}} (2x-\pi)*tan(x)[/mm]
>  
> Hallo Community,
>  
> Grenzwerte ist mir an sich kein fremdes Thema mehr. Ich
> versuche zuerst (wenn möglich) die Aufgabe in einen
> unbestimmten Ausdruck umzuformen, damit ich die Regel von
> L'hospital anwenden kann.

Das klappt ja nicht immer, aber wenns klappt, klappts meist gut.

> Hier steh ich jedoch auf dem Schlauch. Ich könnte den Term
> so umschreiben:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\(\bruch{\pi}{2}} \bruch{(2x-\pi)*sin(x)}{cos(x)}[/mm]

Jawollja. Das ist gut.

> wenn ich Pi/2 "gedanklich" für x einsetzen würde, würde
> da ja etwas stehen wie [mm]\bruch{0*sin(x)}{cos(x)}[/mm]

...wobei [mm] \cos{\left(\br{\pi}{2}\right)}=0 [/mm] ist. Diesen Wert solltest Du kennen.

Das schreit also nach l'Hospital.

> Das Ergebnis soll laut Rechner (-2) sein.

Scheint ein guter Rechner zu sein. Überprüfs doch mal. Du bist auf dem richtigen Weg.

> Ich wäre euch über jegliche Hilfe dankbar :-)

Brauchst Du hier aber gar nicht. Bisher ist alles gut.

> Lg
>
> P.S. Falls es schlecht zu erkennen ist, x soll gegen Pi/2
> gehen :-)

Nö, ist ok trotz kleinem Bildschirm. Ansonsten gibts ja auch noch den Quelltext, da stehts ja deutlich. Und die Aufgabe ist auch nur für bestimmte Werte interessant...

Grüße
reverend
Bezug
                
Bezug
Grenzwertbestimmung mit Pi/2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 Fr 19.06.2015
Autor: jengo32

Das cos(pi/2) = 0 ist, hatte ich tatsächlich nicht mehr auf dem Schirm. Habe ich mir gleich mal auf meinen Lernzettel geschrieben :-) ( Ebenso das sin(pi/s)=1 und -sin(pi/2)=-1 ist )

Zur Aufgabe:

Dadurch, dass ich jetzt die Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] vorliegen habe, leite ich Zähler und Nenner getrennt ab.

Folglich:

[mm] \limes_{x\rightarrow\ \bruch{\pi}{2}} \bruch{2*sin(x)+(2*x-\pi)*cos(x)}{-sin(x)} [/mm]


g=(-2)

Bezug
        
Bezug
Grenzwertbestimmung mit Pi/2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Sa 20.06.2015
Autor: fred97

Noch eine Möglichkeit:

Setze f(x):=cos(x) und [mm] x_0 [/mm] := [mm] \pi/2. [/mm]

Dann [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \to f'(x_0)=-sin(x_0)=-1. [/mm]

Nun ist

[mm] \bruch{(2x-\pi)\cdot{}sin(x)}{cos(x)}=2*( \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})^{-1}*sin(x) [/mm]

FRED
Bezug
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