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hi
bin noch immer amlernen:) danke für die antwort der vorherigen frage an kruder77.
jetzt hab ich folgendes und überhaupt keine ahnung, irgendwie bekomm ich da was mit fakuläten raus...
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] x * [mm] ln^{n}(x)
[/mm]
hat jemadn eine idee?
mfg und danke schonmal
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Hallo!
Grundsätzlich würde ich die Funktion so umschreiben, dass ich dann den l´Hospital verwenden darf (ich nehme mal an, dass dir l´Hosptial was sagt und du auch weißt, wie man ihn anwendet).
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{ln(x)^n}{ \bruch{1}{x}}$
[/mm]
$ln(x)$ für $x=0$ ist ja bekanntlich $- [mm] \infty$ [/mm] und $ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] geht gegen unendlich, wenn man x gegen 0 laufen lässt. Man hätte also den Fall $ [mm] \bruch{ -\infty}{ \infty}$, [/mm] l'Hospital dürfte man nun anwenden, man würde den Nenner und den Zähler getrennt voneinander differenzieren und bei der Ableitung wieder versuchen, den Grenzwert zu bilden. Erhält man wieder den Fall, dass der Nenner und der Zähler beide unendlich ergeben würde man wieder getrennt voneinander ableiten und diese Prozedur so oft wiederholen, bis man einen Grenzwert erhält.
Aber [mm] $ln(x)^n$ [/mm] ist ja eigentlich nicht definiert und ich weiß jetzt nicht 100%ig, ob man den trotzdem l´Hospital verwenden darf.
Ich habe den Fall für $n=2$ überprüft, dieser hätte den Grenzwert 0, alle größeren Werte für n sind undefiniert, sprich es existiert kein Grenzwert.
Ich hoffe ich hab dich jetzt nicht allzusehr verwirrt.
Ich bin mir nicht sicher, ob man doch den Grenzwert berechnen kann, wenn jemand eine andere Meinung hat, bitte mich zu korrigieren.
Grüße,
Christian.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MrElgusive!
Vorneweg setze ich mal voraus, daß gilt: $n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] !!
(@spacephreak: Bitte mal bestätigen, wird sicher in der Aufgabenstellung stehen ...)
Anderenfalls sehe ich auch keine (allgemeine) Lösung.
Warum sollte die Funktion [mm] $\ln^n(x)$ [/mm] nicht definiert sein?
Ich kann doch jede beliebige Zahl (ob positiv oder negativ) mit jeder (natürlichen) Zahl potenzieren.
Je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist, wird sich im Bereich $0 \ < \ x \ < \ 1$ das Vorzeichen von [mm] $\ln^n(x)$ [/mm] einstellen ...
Gruß
Loddar
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hm.. also n [mm] \varepsilon \IN [/mm] steht in der Aufgabenstellung. l`hospital soll man bei dieser aufgabe auch anwenden.
wenn ich das mache, hab ich das problem, das ich aber n-mal l`hospital benutzen kann. bei mir entstehe ne fakultät.
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wie hast du denn ermittel das es = 0 ist? bis zu der fakultät und den n-mal hospital anwenden verstehe ich. sieht man daraus dann, das es gegen 0 geht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hello again ...
Wir haben also nach einmaliger Anwendung von de l'Hospital:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} [/mm] x * [mm] \ln^n(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{n*\ln^{n-1}(x) * \bruch{1}{x}}{- \bruch{1}{x^2}} [/mm] \ = \ ...$
Nun kürzen und etwas Umsortieren / Umformen ergibt:
$... \ = \ [mm] (-1)^{\red{1}} [/mm] * n * [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\ln^{n-1}(x)}{\bruch{1}{x}}$
[/mm]
Das sieht ja wieder sehr ähnlich aus zu unserem Ausgangsausdruck.
Wiederum de l'Hospital, kürzen, zusammenfassen:
$... \ = \ [mm] (-1)^1 [/mm] * n * [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{(n-1) * \ln^{n-2}(x) * \bruch{1}{x}}{- \bruch{1}{x^2}} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^{\red{2}} [/mm] * n * (n-1) * [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\ln^{n-2}(x)}{\bruch{1}{x}}$
[/mm]
Wie sieht denn nun der Ausdruck aus nach n-mal de l'Hospital?
$... \ = \ [mm] (-1)^{\red{n}} [/mm] * [mm] \underbrace{n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1}_{= \ n \ Faktoren} [/mm] * [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\ln^{n-n}(x)}{\bruch{1}{x}}$
[/mm]
$= \ [mm] (-1)^n [/mm] * n! * [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\ln^0(x)}{\bruch{1}{x}}$
[/mm]
$= \ [mm] (-1)^n [/mm] * n! * [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{ \ \bruch{1}{x} \ }$
[/mm]
$= \ [mm] (-1)^n [/mm] * n! * [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] x$
$= \ [mm] (-1)^n [/mm] * n! * 0 \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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hi
ich bedanke mich bei dir. hab das jetzt verstanden:) die klausur kann kommen.
gute nacht & thx
mfg markus
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Grenzwertsatz nach de l'Hospital